五步跳到50

• 目的：通过游戏让孩子理解十进制的十位数和个位数、两位数的减法，以及游戏背后的数字本质规律。
• 玩法：

1. 掷骰子两次以确定你的起始号码:第一次掷骰子得到的数字作为十位数，第二次掷骰子得到的数字作为个位数；
2. 从起始号码可以前进或后退1,10或100个单位的数，每动一次算一步；
3. 五步之内到达50；

• 举例：

1. 我掷骰子两次得到2和2，所以我的起始数字是22；
2. 第一步是+10让我到32；
3. 第二步是+10让我到42；
4. 第三步是+10让我到52；
5. 第四步是-1让我到51；
6. 第五步是-1让我到50；

• 思考：

1. 你是前进还是后退？
2. 你能准确着陆到50吗？
3. 你能以另一种方式做到吗？
4. 哪些数字可以让你五步之内到达50？
5. 哪些数字你五步之内到不了50？
6. 如何证明？
   
   

做有趣的事情、自己心甘情愿要做的事情，做起来就快乐；做枯燥乏味的事、不得不做而又不想做的事。做起来就痛苦。但这有趣或枯燥又因人因时而异，饮酒、下棋、踢球、学习数学都是这样。

学习数学的乐趣类似于下棋，是思考之乐，是挑战之乐。实际上，数学能给我们更多。

比如震撼感。随着对数学理解的不断深入。你会发现，原来世界上还蕴藏着如此奇妙的规律。爱因斯坦曾回忆说，当他在中学几何中学到“三角形的三条高线必交于一点”时，受到了很大震撼，他觉得这个世界上一定有更多这样的“奥秘”还没被人发现，这对他的一生起到了决定性的影响。奠定了他从事科学研究的决心。

比如力量感。曾经有很多几乎无法下手的难题，在掌握了一种思考方法后，每向前一步，就会有成千上万的问题迎刃而解。这时，人会忽然意识到自身的力量，而这种力量的增长往往是在几个小时 、一天之内就能获得的。曾被四则应用问题搞得焦头烂额的人，一旦学了列方程解应用题，就会感受到数学的力量。莱布尼兹谈到微积分方法时说，过去许多饱学之士百思不解的问题，一个掌握了这种方法的普通人就能轻易地解决，这就是数学的力量。

比如解放感。一开始学数学，会感到被很多“清规戒律”所束缚，但随着学习的深入，它们被一个个打破。一开始只能5减3，到后来3也可以减5了；一开始只有数字才可以相加，后来字母也可以相加、符号也可以相加……学习越深入就越有这种自由解放的感受。

还有科学之美，包括图形的美、规律的美和和谐的美。

“火是怎样被发现的?”有人说是取暖的需要，有人说是为了开荒，有人却说是因为原始人被火焰的跳动所吸引，决定将火种延续下去。这当然只是一个美丽的故事，但是学数学的人的确是会为数学魂牵梦绕。有位哲学家说，数学就是在看似简单的事物背后探寻美丽的规律。一个直角三角形一目了然，似乎很清楚明了，可是经过探索，发现里面隐藏着勾股定理。数学家不但能发现这些有趣有用的奥秘，而且能够论证，能够让你毫不怀疑地相信。而这些由前辈在千百年间千辛万苦开掘得来的珍宝，我们常常在一节课的时间内就能学到手、就能轻松欣赏。不亦乐乎?

好的教材、好的读物、好的老师，就应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美。

欧几里德在教授几何的时候，有个学生问，学几何能得到什么好处？欧几里德立刻吩咐仆人拿几个小钱打发他走。因为欧几里德认为，学习几何是为了提高心智、让人更接近真理，而不是获得实利。如果学生学习的目的只是为了升学，那么学习的趣味自然会大大降低，学习中就有被迫的感觉，就会痛苦。

现在大家都说要减轻学生的负担，主张课本内容简单。主张几何少一些推理，主张取消奥数培训班。其实，这都是头痛医头、脚痛医脚的办法。学生不怕学得多，怕的是考得多。如果只是把课本编得简单一些，但考试仍然很难，那么学生就不会真正“减负”。

我主张“多学少考”：课本不妨略深一点，因为如果学得深度不够，学生很难体会到数学的趣味；而考试简单一些．孩子们才能在轻松中寻找数学的乐趣。

为什么现在考试不能简单呢？为什么有家长逼孩子上奥数班呢？根源是升学考试的竞争激烈。为什么升学考试的竞争激烈呢?因为教育资源分配不太均衡。大家都想上好的学校。我们的考试总是想把少数高分区分出来，让一些好学校把高分学生一网打尽。这就有了问题：好学校究竟是学生入学水平高呢，还是教学质量高呢？如果考题容易一些，基本上就是教材上的习题，学生负担自然轻了。这时就会出现大批满分的考生，就有利于学生分布的均衡，对于提高后进学校的水平、对于锻炼名校教师的能力都是好事。再说，高分尖子学生集中在一起未必有利于成才，一把豆子撒开在田里会长成一棵一棵豆苗，放在一个碗里，即使有水有肥，也不过一碗豆芽。不从深层次考虑，课本简单了，老师会给补习，学校的奥数班被取消了，社会上会有人来辅导，有需求就会有供应者。

此外，在小学和初中的课程设置中要加强对几何的学习，而不是像现在这样轻几何而重数学运算。美国是在数学教育方面花气力最大的国家，但是连美国人自己也承认他们的数学教育收效不大。

我认为，其中一个重要的原因就是他们从20世纪60年代开始。在教材中将几何砍掉得太多了。图形不是枯燥的，是容易理解的。一开始学数学，孩子们可能还不能理解数学的很多妙处，因此应该通过图形的运动变化吸引他们的兴趣。随着学习的深入，逐步引导孩子用代数、运算的方式直至微积分的方法解决几何问题。

同样，教师对培养孩子们的数学兴趣能起到至关重要的作用。我认为，最糟糕的教学就是让学生在学习一个公式后做几十个类似的题目。数学教学的改革也不能只着眼于讲什么、不讲什么，先讲什么、后讲什么，教师应该下功夫研究在课本之外有没有与众不同的、更好的表达方式。不但教学生算，更要教学生想。奥数总是让选手在4个半小时里做3道题，就是提倡深入思考，所以有些选手后来成了出色的数学家。

     加拿大智库霍尔研究所近日发表温尼伯大学安娜• 斯托克教授撰写的研究报告：‘如何应对加拿大数学成绩的下跌？’，指出十年前开始实施的小学‘发现式数学’令中小学数学处于危机之中，引发关注。

  　其实，自2013年起，安大略、阿尔伯塔和卑诗省的学生家长就已分别向各省教育厅请愿，指出‘发现式数学’的危害，要求恢复传统教学，强化基本知识技能。很遗憾这些声音被教育当局当成了耳旁风。

　　对于加拿大的数学教育，华裔家长大都感觉相当弱。但究竟弱到什麽程度？斯托克教授举了一个例子：1/3 -1/4 = ？这道选择题有四个答案，仅凭猜测也应有25%的学生答对。然而加拿大的安省、阿省和魁省仅28-33%的学生选择了正确答案；说明绝大多数学生都不会。相比之下，东亚的韩国、新加坡和台湾的正确率为82-86%。

　　还不可怕麽？试想这些连基本分数运算都不会的青少年，以后如何学习中等数学和科学？又如何进入大学和职场？

　　宣称能够‘培养学生探索知识、解决问题能力’的‘发现式数学’，结果却连最基本的知识都未能教给学生。这究竟怎麽回事？

　　二

　　发现式数学在内容结构、教学方法和课堂模式上均与传统数学有着极大差别。

　　内容结构方面，传统数学是算术——整数、分数、小数，加减乘除四则运算等——为主干，加上几何基础以及概率统计的少许入门知识。这些是一个人生活和工作必备的基本数学知识技能。

　　而发现式数学完全抛弃了这个课程结构。它分为算术,模式与关系，几何，概率统计四大部分；而且一至七年级数学，这几个部分一插到底，年年有，轻重不分。

　　这样做的原因，在于决策者对算术的偏见。他们认为算术不过是算数（Calculating）。所以引入了中学的数列和方程等知识——称为模式与关系——以为这样才称得上‘数学’。他们不了解，作为数学基础的算术，自有其丰富的背景、内涵和思维方法，不但实用，对学生能力培养亦起着至关重要的作用。

　　发现式数学实施下来，算术被大大削弱；课时不够，学得不透，练得更少。另一方面，将中学里比较抽象的知识下放到小学，小学生无法招架，也干扰了主要内容的学习。不但学生，不少家长也被搞得一头雾水，叫苦不跌。有些部分如算术数列，即使课程标准的制定者和教材的编写者，其数学知识都不够应付，谬误之处贻笑大方。

　　教学方法是斯托克教授研究报告的重点。顾名思义，‘发现式数学’试图让学生自己探索知识。这一出发点有其道理。传统教学中，不论东方还是西方，都存在着灌输式倾向，启发不够。这是由教材的编写方法和教师水平有限所造成的。鼓励独立探索和创新，向来是西方教育的优势。国内一些教育家提倡‘尝试教学法’，也是为了改变灌输式的弊端。然而，北美的‘发现式数学’，却改得太多，走得太远了。

　　仔细研读‘发现式数学’的教材，会发现很多奇怪现象：

　　1. 图示法泛滥成灾。本来直截了当的四则运算，却要求学生数瓦片（tiles）,相当于掰手指；三年级计算5+7，也要求图示。图示法甚至一直延续到小学毕业，令中、高年级已获得数字和数位概念、具备初步抽象思维能力的小学生退回最原始的方法，可谓‘倒行逆施’。

　　2. 各种类型题目均讲求多种方法，却轻忽了竖式运算等传统的核心方法；令学生莫衷一是，哪种方法也掌握不了。而且有些方法既慢且笨，如计算85-34要学生使用1-100数表，纯属画蛇添足。

　　3. 很多题目答案不确定，比如‘几加几等于37？’之类。实际生活中确实有很多情况答案不确定。但小孩子容易明白有一定之规的东西，慢慢才能了解事物的不确定性。

　　4. 引入很多探索规律类的题目，即寻找‘模式’或曰‘模型’，其中大多为等差数列。这类题目，适当地练习有益于培养归纳思维能力，特别是数学资质好的孩子；但让全体学生反反复复地做，年年做，则得不偿失，浪费时间。

　　5. 中国大陆小学数学课本紧密联系生活实际。讲解概念从实际问题引入，再用于实际问题；使学生得以掌握知识内涵，而非单纯的数字计算。而本地小学数学则远为抽象空洞，难以引起学生兴趣。

　　小学数学教授几千年人类历史演化形成的数学知识，而非科学技术前沿；故天经地义，其课程标准与教材当相对稳定。在原有基础上作少量修订与增删或许是必要的、合理的，但大规模的变动甚至推倒重来肯定出乱子。西方把课程标准的修订当作一种设计，在创新的名义下标新立异；令小学数学疮痍处处，面目全非；令数学教育一落千丈。

　　发现式与传统教学的另一重大差别是课堂教学模式。前者主张学生分散自主学习，反对教师集中授课。分散式教学对一些文科课程有效，而数学等课程更多地需要系统讲解理论，必须集中授课，辅之以分散教学。要知道，全班集中授课并不等于全盘‘灌输’。好的教师都会启发与引导学生，主动参与，积极思考。而学生自主学习则难免盲目、低效甚至无所事事。

　　分散教学亦称‘个性化教学’，为所谓‘21世纪教学’的核心，即照顾孩子学习过程中的个性差异。但人们认识事物的过程存在着共同的规律，否则还能办学校？孩子们只好统统回家了。

　　三

　　小学数学提供全体社会成员必备的数学知识技能与素养，并为中学和大学学习奠定基础；因而对若干年后社会经济与科技发展具有决定性的作用。‘发现式数学’实施十年，已经荒废了很大一批青少年，这种状况不能继续下去了！

　　斯托克教授在报告中提出三项建议：教师在课堂上集中教学；改写数学标准与教材；对中、小学数学教师规定更高的学业要求。

　　在此，笔者进一步提出以下三项建议：

　　一. 教学标准的制定和教材的编写，是关系重大的学术性、研究性工作，须由高层专家担纲。建议联邦政府将基础教育管起来,制定全国统一的课程标准及教材。

　　二．制定教学标准须经深入研究，严格论证；并参照世界各国的成功经验。再不能随意拿千千万万的孩子作试验品。

　　三. 加拿大小学各门不同课程皆由同一位教师教授，事倍而功半，这样的分工体系需要改变。小学教师亦应象中学那样按专业分工，尤其数学教师必须具备足够的专业知识。这样既能够提高教学成效，又可以减轻教师负担。

　　作者：

　　沈乾若 博士

　　北京大学物理系毕业，北京航空航天大学工学硕士，加拿大西蒙菲沙大学数学博士

美国的数学比我们简单，为什么却培养出这么多牛逼科学家？真的是这样吗？

这样一种说法：美国初中生学的数学是咱们国家小学生学的水平，美国高中生学的数学是咱们国家初中的水平。

那么，为什么很多需要数学的东西（如iPhone的拍照算法，各种科技发明）都是人家做出来的而不是咱们？为什么我们的中小学数学这样难，而能利用学到的数学知识进行创造发明的那样少？为什么孩子们耗费12年学数学，最后绝大多数人除了简单加减乘除以外的东西都忘光了？

今天取材于“知乎”的文章也许能部分解答这些个问题。不过话说回来，不管喜不喜欢数学，当今中国的现实是，数学成绩好不好，对于升学、高考，甚至留学，至关重要；原因很简单－数学特别能拉开考分差距。不信你去看，文科高考成绩好的人，数学成绩一定很不错。

为什么我们的中小学数学这样难，而能利用学到的数学知识进行创造发明的那样少？为什么孩子们耗费12年学数学，最后绝大多数人除了简单加减乘除以外的东西都忘光了？

而在美国，初中生学的数学是咱们国家小学生学的水平，高中生学的数学是咱们国家初中的水平。可人家就能做出很牛的东西！我们的差距在哪里？

长久以来，中国人的迷思就是，为何“美国人数学这么差，还能出这么多牛逼科学家？”这个问题的答案已经被答烂了，我结合自身的经历，系统地给大家科普一下！

1、美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育

美国的每个地区，对于高中毕业的学生，应该有何种的数学修养，大多是有硬性规定的。

比如麻省，每年对特定几个年级的学生有统考，这个统考的主要内容之一就是数学，数学不过关的，高中是不允许你毕业的。

所以基本上每间正规高中，也都对数学水平有最基本的要求才准毕业。据我所知，这个标准大概在会运算简单的三角函数就可以了。 

这个水平，以咱们大天朝的标准来看，确实不算高，而且很多人还都是勉强混过去的。（高中课很松）

这种低要求的直接结果就是，美帝99%的学生（99%这个数字并不夸张，可能更高）的数学都停留在生活勉强可以自理的水平上。

2、给热爱数学的学生最高水平的数学教育

以高中为例，对于一些数学比较好的不安分分子，为了安抚他们，不给社会添麻烦，学校（不是每间学校都有这个条件）会提供 Advanced Placement 课程，也就是宅男们喜闻乐见的AP课程。

以数学为例，高中最高级的AP课程，叫做BC微积分，2005年我上高中的时候，课本是下面这个：

我们的任务则是把这本书，从头到尾学得通通透透。

值得注意的是，只要你前面的课程成绩都好，你几年级修这个课是没有限制的，我上学时班上最年轻的同学是一位俄裔美国人，他修此门课程时才上十年级（相当于我们高一），他最后这门课的成绩是 A+ ，在我们学校，意味着每次考试的成绩，都在95分以上，实在是学校公害。（这位大哥后来去了宾夕法尼亚大学读 Material Science －材料科学）

这本书的内容，大家都可以查到，人家高一就学这个，你们各位自诩为学霸的，颤抖了吗？基本上到学矢量微积分之前，学完了这本书，你做微积分已经应已如四则运算般自如。

我作为一名合格的宅男，还选修了AP物理，我们的课本是这个：

有兴趣的同学，也可以查查这本书的深度如何。

教材不是统一的，AP的任课老师可根据自己喜好选择教材。另外老师会推荐一些课外读物，供不安分的宅男们消耗能量。

AP课修了一整年以后，就可以报考全国的AP统考了。 AP Exam 统考的难度，个人觉得数学比较简单，物理则很难，当然也可能因为我抽象思维能力太差了。即便这样，小弟我全考了个5分也是没有压力的。（满分5分）

说到这就差不多了，中心思想和开始提到的一样，可能论数学物理的平均水平，美国学生确实远远不如中国学生，但是谈到「给天才 / 有兴趣的人的教育」时，中国的教育制度，则还停留在解放前。

而到了大学，这个差距就越拉越大，到了研究生阶段，没有鄙视国内读研读博的盆友们的意思，但与美国的“高高等”教育相比，真的无法相提并论。国内的院校、资金条件、师资条件和科研硬件条件，都比发达国家相差太远了。

这样的制度，从侧面看，很大一个好处就是，年轻人可以把多余的时间和精力，专注到自己喜欢做的事情上。

很多比较聪明的宅男，高中最后一年基本没有什么数理课程了（全提前学完了），学学哲学，历史，艺术，玩玩乐团，体育，对成长都有帮助。前面那位俄裔学霸，还是该地区的长跑冠军，真是令人厌恶。

另外一个好处就是，学霸们可以和学霸们在一起玩一起上课一起耍，不要小看这些宅男们，学霸们聚在一起的能量们是很大的，你没发现，在你们现在打工的地方，老板们年轻时都是学霸吗？

3、我们的小学数学和美国小学数学的差别

说起来，我们想到的可能会是那个经典 “一个水池，进水出水，以什么样的速度来保证水池怎样怎样之类的” 大概这些吧，也就是我们所说的应用题。

或是前段时间在微博上看到的一个小女孩背乘法口诀表里面的3*5=15，背到哭了。真是让人觉得小萝莉可爱的同时也不得不说，都是过来人，看谁笑话呢。哈哈。

不过，言归正传，我们所学的数学，很多都是通过套用公式来一遍又一遍的做题来证明公式的正确性。

可是美国小学的数学不一样。

他们通常都是学数学为了来解决问题吧，会套用在实际的生活中去学习。

比方说，今天学习数字3。一个消防员站在一棵高高的树下，树上有两只小猫被困在上面下不来，消防员要去救小猫，怎么救。

首先选一下可以使用的工具，灭火器？捕蝴蝶的网？还是梯子？因为树高要用梯子，好，几个梯子才能够到？一个不行，两个，三个呢？大家大可不必去纠结这三个梯子拼起来怎么安全，不是消防车都是自动的等等问题。

我们的“小明和小朋从两个地方出发，以同样的速度，走多多路，后面balabala”的情景这些，也未见得就不是童话故事，然后我们长大后发现童话里都是骗人的，因为没人会这样无聊到去做这事。

再引用一个朋友孩子的例子。他儿子上3年级，以我们的眼光粗粗来看，他们学的是：

1）10以内的加减法

2）1000以内数字的读写

这是什么级别？好像现在幼儿园中班就已经教这个了 ！

但我朋友花了3小时教材，越看越汗，还特地总结了一下他们教的我们没教的：

1）同样从1数到10再11，我们是单纯的数，数到10,100,1000；但他们数到11后，开始讲进位、十进制，开始引入二进制、五进制等；

2）讲10以内的数字，区分数字的用途，同样是数字3，可以是3个房间，第3间房，房间长3米，他们有什么不同？

3）在数字的用途一节后需要写paper：我们说华盛顿有人口3,454,456（数字是我随便编的），这个数字是精确的嘛？还是估算的？为什么？怎么证明？

4）有一些逻辑题目，类似于“教授的隔壁是医生，医生喜欢蓝色” 这种问题，我们孩子是从小作为智力题目来做的，他们则介绍了只需要用到1-10这几个数字的表格，介绍如何将这些条件填入表格，最后如何出答案。

其实还有更多....

总体感觉这个教材：

1）强调数学的基本概念

2）强调逻辑思维

同样是逻辑问题，我们一直强调的是用脑子解决，会的就真是个聪明的孩子，不会就你怎么这么笨。而他们从小就拿出来，教孩子用工具解决。

国人一向号称自己是最聪明的民族，但创新实力却很弱，我相信我观察到的这一点是原因之一。

3）细致

我们长大后，看老外的文档，事无巨细，是不是特别佩服？可为什么我们从来没有耐心看下去，写出来呢？

我想，这就是原因，我们都没有耐心为孩子细致的解剖这个世界，孩子长大后怎么能细心？

总之，美国的教育更注重的是在大学前开阔视野，找你所喜欢的、感兴趣的领域和学科，所以他们一直到高中都有很多自己选修的课程，很多很多课，看似很轻松，学自己喜欢的嘛。

而当我们经历过那不想回去的高考之后，全都瞬间解压，觉得没什么事做了，开始玩乐。

但美国大学生却非常辛苦，学习努力，这不光是因为他们的大学不好毕业，而是，大学时期其实才是真正学习的好时光，术业专攻，之前都在寻找培养兴趣，拓展视野，找到自己的兴趣所在。

所以，可见的，他们的数学简单，其实不是简单。而我们学过的很多数学公式，现在生活中也都不会用到了。

所以说”美国学生学的数学比我们简单”这就是个伪命题，不存在这样的事情。

综合知乎用户对此问题的回答（Dave Geng，姿娱自乐、许晓风等），原载“知乎”网站。本文版权归属作者/原载媒体。

“Like music, mathematics is the creative exploration of possibilities within rigidly prescribed rules and parameters.”

— David M. Bressoud, DeWitt Wallace Professor of Mathematics, Macalester College

专业内容

基础数学的知识与运用是生活中不可或缺的一环。对数学基本概念的完善，早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本便可观见，而在古希腊有更为严谨的处理。从那时开始，数学持续不断地小幅发展，至16世纪的文艺复兴时期，因为新的科学发现和数学革新两者的交互，致使数学加速发展。今日，数学成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。

如今，数学在科学、工程、医学和经济等领域的作用必不可少。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。虽然许多研究以纯数学开始，但其过程中也发现许多应用之处。

主要研究领域：

数学最开始的研究领域为以下四种：商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地，以及预测天文事件。这四大类领域与数量、结构、空间及变化（即算术、代数、几何及分析）等子领域相关连。除了上述主要领域之外，也有用来探索由数学核心与其他领域相关联的子领域：例如逻辑、集合论、不同科学的经验上的数学（应用数学）、以及不确定性的研究。美国数学专业也是对这几个领域进行研究。

基础与哲学：

数学逻辑和集合论等领域用来阐明数学基础。数学逻辑专注于将数学置在一坚固的公理架构上，并研究此架构的结果。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，并且和理论计算机科学有着密切的关连。

纯粹数学：

1）数量。数量的研究起源于数，一开始为熟悉的自然数、整数、自然数及整数的算术运算。2）结构。许多数学物件都有着内含的结构。3）空间。空间的研究源自于几何。4）变化。了解和描述变化，在自然科学里是一普遍的议题，而微积分更是研究变化的有利工具。

离散数学：

离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域的总称，包含可计算理论、计算复杂性理论及信息论。可计算理论检验电脑的不同理论模型的极限，包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度。信息论专注在可以储存在特定媒介内的数据总量，因此有压缩及熵等概念。

应用数学：

应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上的现实问题。应用数学中的重要领域为统计学，利用概率论对现象进行描述、分析与预测。大部分的实验、调查及观察研究需要统计对其数据的分析。

大学典型课程：

Combinatorics 组合数学

Differential equations 微分方程

Discrete mathematics 离散数学

Elementary statistics 统计学原理

Linear algebra 线性代数

Modeling 数学建模

Modern algebra 近世代数/抽象代数

Modern geometry 近世几何

Multi-variable calculus 多变量微积分

Number theory 数论

Real analysis 实数分析

Single-variable calculus 单变量微积分

Topology 拓扑学

-College Board

本科常见专业方向：

基础数学 Pure Mathematics

分析导论，线性代数，抽象代数，复变函数等；

应用数学Applied Mathematics

统计，数理生物，数学物理，经济数学，计量金融等；

数学与计算机 Math and Computer Science

计算机编程，数值方法，操作系统设计等；

数学教学Teaching Concentration

中小学课程教学，数学历史等；

精算 Actuarial Science

微观经济，宏观经济，保险管理，风险管理等；

随着近年数学与各专业的结合，有些学校也开设更细分的专业供学生选择，如运筹学，数学经济，金融数学和风险管理等。

专业排名

排名 美国大学

1      Massachusetts  Institute of Technology

1      PrincetonUniversity

3      HarvardUniversity

3      Universityof California—Berkeley

5      Stanford  University

5      University  of Chicago

7      California  Institute of Technology

7      University  of California—Los Angeles

9      ColumbiaUniversity

9      New  York University

9      Universityof Michigan—Ann Arbor

9      Yale  University

13    CornellUniversity

14    Brown  University

14    University  of Texas—Austin

14    University  of Wisconsin—Madison

17    Duke  University

17    Northwestern  University

17    Universityof Illinois—Urbana-Champaign

17    University  of Maryland—College Park

17    University  of Minnesota—Twin Cities

17    Universityof Pennsylvania

(Best Mathematics Programs, Ranked in 2018,U.S. News & World Report)

毕业去向

数学专业，在很多人看来，毕业后的就业前景无非是当老师或者搞科研，就业面似乎不宽。然而，这些都还比较传统，数学专业毕业的学生实际上是金融界、IT界、科研界的“香饽饽”，数学专业的就业前景实际上比我们想象的要宽很多。

一、深造

大学毕业后很多学生选择深造，将数学作为知识基础，继续攻读硕士和博士学位，数学专业的学生可以攻读的方向有：经济学、应用数学、生物统计、精算、统计与运筹、金融数学、金融学、金融工程等。

二、就业

在日常生活中，从天气预报到股票涨落，到处充斥着数学的描述和分析方法。北京市需求毕业生人数最多的十大专业中，数学相关专业需求量位居前列。

就业主要涉及工业、金融、教师三个方向。

在工业领域，主要是大型的IT、能源、物流、影视等等大型公司的研发机构。IT领域做算法，能源领域做数值计算，模拟，物流领域做网络或优化，影视领域做图像动画建模等。高新科技对这一块需求也是非常大的，比如飞机的风洞，导弹、航空航天器的空气动力方面，需要学数学的人做流体等方面的模拟和计算等等。数学与科学技术一直以来有着密切联系，随着电子计算机的迅速发展和普及，特别是数字化的发展，使数学的应用范围更为广阔，在几乎所有的学科和部门中得到了应用。数学技术已成为高技术中的一个极为重要的组成部分和思想库。

金融领域：数学可应用于：风险资产(包含股票、债券、原物料商品等)价格模型的建立及统计分析、衍生性商品价格理论的建立及计算、最佳投资组合理论的研究。很多投行都很喜欢数学出身的人，例如商业顾问，金融、证券分析师等。

数学教师：国内数学教师需求量最大，也十分抢手。可以在中小学任教，或者继续攻读博士学位，到各大高校从事教学工作，既可以进一步开展研究，也为培养专业人才作贡献。

代表职业

Actuaries 精算师

Computer Scientists 计算机科学家

Financial Analysts 金融分析师

Mathematicians 数学家

Operations Research Analysts 运筹分析员

Elementary, Middle, and High School Teachers 中小学老师

Postsecondary Teachers 高中职教师

Statisticians 统计员

- College Board

毕业薪酬

根据美国PayScale统计，数学专业毕业生薪酬比较可观，其中高中教师的平均年薪在$30,521-$62,772之间，软件工程师的平均年薪在$57,812-$116,185之间，精算师的平均年薪在$44,698-$115,457范围内：

- payscale.com

根据美国JobsRated.com，数学专业的毕业生在工作岗位上满意度最高：

-JobsRated.com

在21世纪，科学技术的突破日益依赖学科界限的打破和相互渗透，学科交叉已成为科技发展的显著特征和前沿趋势，数学也不例外。随着实验、观测、计算和模拟技术与手段的不断进步，数学作为定量研究的关键基础和有力工具，在自然科学、工程技术和社会经济等领域的发展研究中发挥着日益重要的作用。

公元前

约公元前4000年，中国西安半坡的陶器上出现数字刻符。

公元前3000～前1700年，巴比伦的泥版上出现数学记载。

公元前2700年，中国黄帝时代传说隶首做算数之说，大挠发明了甲子。

公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲(注：传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。

公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。

美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。

公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。

公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。

公元前1400年，中国殷代甲骨文卜辞记录已有十进制记数，最大数字是三万。

公元前1050年，在中国的西周时期，“九数”成为“国子”的必修课程之一。

公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。

古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。

印度人求出=1.4142156。

公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理(古希腊 巴门尼德、芝诺等)。

公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。

公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。

古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。

古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。

公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。

公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。

公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组

公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。

公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。

战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。

元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。

公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。

公元前170年，湖北出现竹简算书《算数书》。

公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。

约公元前一世纪，中国的《周髀算经》发表。其中阐述了“盖天说”和四分历法，使用分数算法和开方法等。

公元元年　～　公元１０００年

公元50～100年，继西汉张苍、耿寿昌删补校订之后，东汉时纂编成《九章算术》，这是中国最早的数学专著，收集了246个问题的解法。

公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。

一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。

古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。

100年左右，古希腊的尼寇马克写了《算术引论》一书，此后算术开始成为独立学科。

150年左右，古希腊的托勒密著《数学汇编》，求出圆周率为3.14166，并提出透视投影法与球面上经纬度的讨论，这是古代坐标的示例。

三世纪时，古希腊的丢番都写成代数著作《算术》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了许多定和不定方程式。

三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。

中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。

四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。

约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。

466年～485年，中国三国时期的《张邱建算经》成书。

五世纪，印度的阿耶波多著书研究数学和天文学，其中讨论了一次不定方程式的解法、度量术和三角学等，并作正弦表。

550年，中国南北朝的甄鸾撰《五草算经》、《五经算经》、《算术记遗》。

六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。

隋代《皇极历法》内，已用“内插法”来计算日、月的正确位置(中国 刘焯)。

620年，中国唐朝的王孝通著《辑古算经》，解决了大规模土方工程中提出的三次方程求正根的问题。

628年，印度的婆罗摩笈多研究了定方程和不定方程、四边形、圆周率、梯形和序列。给出了方程ax+by=c(a，b，c是整数)的第一个一般解。

656年，中国唐代李淳风等奉旨著《“十部算经”注释》，作为国子监算学馆的课本。“十部算经”指：《周髀》《九章算术》《海岛算经》《张邱建算经》《五经算术》等。

727年，中国唐朝开元年间，僧一行编成《大衍历》，建立了不等距的内插公式。

820年，阿拉伯的阿尔·花刺子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制。

850年，印度的摩珂毗罗提出岭的运算法则。

约920年，阿拉伯的阿尔·巴塔尼提出正切和余切概念，造出从0º到90º的余切表，用sine标记正弦，证明了正弦定理。

公元１０００年　～　１７００年

1000～1019年，中国北宋的刘益著《议古根源》，提出了“正负开方术”。

1050年，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。

1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。

1079年，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》，用圆锥曲线解三次方程。

十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。

十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。

十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。

1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。

1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。

1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。

1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。

1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。

1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。

十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘，并逐渐代替了筹算。

1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。

1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。

1489年，德国的魏德曼用“+”、“-”表示正负。

1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。

1514年，荷兰的贺伊克用“+”、“-”作为加减运算的符号。

1535年，意大利的塔塔利亚发现三次方程的解法。

1540年，英国的雷科德用“=”表示相等。

1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。

1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。

1585年，荷兰的斯蒂文提出分数指数概念与符号；系统导入了十进制分数与十进制小数的意义、计算法及表示法。

1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。

1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。

1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。

1614年，英国的耐普尔制定了对数，做出第一张对数表，只做出圆形计算尺、计算棒。

1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。

1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。

1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。

1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。

意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。

1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。

1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。

1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。

1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。

1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。

1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。

1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。

1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。

1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。

1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。

1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。

1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。

1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。

1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。

1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。

1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。

公元１７０１　～　１８００年

1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。

1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。

1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。

1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。

1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。

1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。

1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。

1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。

1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。

1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。

1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。

1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。

1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。

1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。

1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。

1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。

1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。

1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。

1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。

1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。

德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。

1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。

1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。

德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。

公元１８００　～　１８９９年

1801年，德国的高斯出版《算术研究》，开创近代数论。

1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。

1812年，法国的拉普拉斯出版《分析概率论》一书，这是近代概率论的先驱。

1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。

1821年，法国的柯西出版《分析教程》，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性等。

1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。

法国的傅立叶研究了热传导问题，发明用傅立叶级数求解偏微分方程的边值问题，在理论和应用上都有重大影响。

1824年，挪威的阿贝尔证明用根式求解五次方程的不可能性。

1826年，挪威的阿贝尔发现连续函数的级数之和并非连续函数。

俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。

1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。

1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。

德国的莫比乌斯出版《重心演算》，第一次引进齐次坐标。

1830年，捷克的波尔查诺给出一个连续而没有导数的所谓“病态”函数的例子。

法国的伽罗华在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论。

1831年，法国的柯西发现解析函数的幂级数收敛定理。

德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。

1835年，法国的斯特姆提出确定代数方程式实根位置的方法。

1836年，法国的柯西证明解析系数微分方程解的存在性。

瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。

1837年，德国的狄利克莱第一次给出了三角级数的一个收敛性定理。

1840年，德国的狄利克莱把解析函数用于数论，并且引入了“狄利克莱”级数。

1841年，德国的雅可比建立了行列式的系统理论。

1844年，德国的格拉斯曼研究多个变元的代数系统，首次提出多维空间的概念。

1846年，德国的雅克比提出求实对称矩阵特征值的雅可比方法。

1847年，英国的布尔创立了布尔代数，在后来的电子计算机设计有重要应用。

1848年，德国的库莫尔研究各种数域中的因子分解问题，引进了理想数。

英国的斯托克斯发现函数极限的一个重要概念——一致收敛，但未能严格表述。

1850年，德国的黎曼给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念。

1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。

1854年，德国的黎曼建立了更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学，并提出多维拓扑流形的概念。

俄国的车比雪夫开始建立函数逼近论，利用初等函数来逼近复杂的函数。二十世纪以来，由于电子计算机的应用，使函数逼近论有很大的发展。

1856年，德国的维尔斯特拉斯确立极限理论中的一致收敛性的概念。

1857年，德国的黎曼详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数。

1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。

1870年，挪威的李发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题。

德国的克朗尼格给出了群论的公理结构，这是后来研究抽象群的出发点。

1872年，数学分析的“算术化”，即以有理数的集合来定义实数(德国 戴特金、康托尔、维尔斯特拉斯)。

德国的克莱茵发表了“埃尔朗根纲领”，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论。

1873年，法国的埃尔米特证明了e是超越数。

1876年，德国的维尔斯特拉斯出版《解析函数论》，把复变函数论建立在了幂级数的基础上。

1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。

1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。

1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。

英国的亥维赛制定运算微积，这是求解某些微分方程的简便方法，工程上常有应用。

1883年，德国的康托尔建立了集合论，发展了超穷基数的理论。

1884年，德国的弗莱格出版《数论的基础》，这是数理逻辑中量词理论的发端。

1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。

1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。

1892～1899年，法国的彭加勒创立自守函数论。

1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。

1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。

瑞利等人最早提出基于统计概念的计算方法——蒙特卡诺方法的思想。二十世纪二十年代柯朗(德)、冯·诺伊曼(美)等人发展了这个方法，后在电子计算机上获得广泛应用。

公元１９００年 ～ １９６０年

１９００年

德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。

１９０１年

德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。

德国数学家舒尔、弗洛伯纽斯，首先提出群的表示理论。此后，各种群的表示理论得到大量研究。

意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。

法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。

１９０３年

英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。

瑞典数学家弗列特荷姆，建立线性积分方程的基本理论，是解决数学物理问题的数学工具，并为建立泛函分析作出了准备。

１９０６年

意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。

法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。

德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。

俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。

１９０７年

德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。

美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。

１９０８年

德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。

德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。

１９０９年

德国数学家希尔伯特，解决了数论中著名的华林问题。

１９１０年

德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。

美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。

英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。

１９１３年

法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。

德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。

１９１４年

德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。

１９１５年

瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。

１９１８年

英国的哈台、立笃武特应用复变函数论方法来研究数论，建立解析数论。

丹麦的爱尔兰为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论。

希尔伯特空间理论的形成(匈牙利 里斯)。

１９１９年

德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。

１９２２年

德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。

１９２３年

法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。

法国的阿达玛提出偏微分方程适定性，解决二阶双曲型方程的柯西问题。

波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论。

美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。

１９２５年

丹麦的哈·波尔创立概周期函数。

英国的费希尔以生物、医学试验为背景，开创了“试验设计”(数理统计的一个分支)，也确立了统计推断的基本方法。

１９２６年

德国的纳脱大体上完成对近世代数有重大影响的理想理论。

１９２７年

美国的毕尔霍夫建立动力系统的系统理论，这是微分方程定性理论的一个重要方面。

１９２８年

美籍德国人 理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。

美国的哈特莱首次提出通信中的信息量概念。

德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。

１９３０年

美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。

美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。

１９３１年

瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。

奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。

苏联的柯尔莫哥洛夫和美国的费勒发展了马尔可夫过程理论。

１９３２年

法国的亨·嘉当解决多元复变函数论的一些基本问题。

美国的毕尔霍夫、美籍匈牙利人冯·诺伊曼建立各态历经的数学理论。

法国的赫尔勃兰特、奥地利的哥德尔、美国的克林建立递归函数理论，这是数理逻辑的一个分支，在自动机和算法语言中有重要应用。

１９３３年

匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。

苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。

美国的诺·维纳、丕莱制订复平面上的傅立叶变式理论。

１９３４年

美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。

美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。

苏联的辛钦提出平稳过程理论。

１９３５年

波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。

法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。

１９３６年

德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。

现代的代数几何学开始形成。(荷兰 范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利 培·塞格勒等)

英国的图灵、美国的邱吉、克林等提出理想的通用计算机概念，同时建立了算法理论。

美籍匈牙利人 冯·诺伊曼建立算子环论，可以表达量子场论数学理论中的一些概念。

苏联的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。

１９３７年

美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。

苏联的彼得洛夫斯基提出偏微分方程组的分类法，得出某些基本性质。

瑞士的克拉默开始系统研究随机过程的统计理论。

１９３８年

布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学(法国 布尔巴基学派)。

１９４０年

美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。

英国的绍司威尔提出求数值解的松弛方法。

苏联的盖尔方特提出交换群调和分析的理论。

１９４１年

美国的霍奇定义了流形上的调和积分，并用于代数流形，成为研究流形同调性质的分析工具。

苏联的谢·伯恩斯坦、日本的伊藤清开始建立马尔可夫过程与随机微分方程的联系。

苏联的盖尔芳特创立赋范环理论，主要用于群上调和分析和算子环论。

１９４２年

美国的诺·维纳、苏联的柯尔莫哥洛夫开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了“统计动力学’。

１９４３年

中国的林士谔提出求代数方程数字解的林士谔方法。

１９４４年

美籍匈牙利人冯·诺伊曼等建立了对策论，即博弈论。

１９４５年

法国的许瓦茨推广了古典函数概念，创立广义函数论，对微分方程理论和泛函分析有重要作用。

美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。

１９４６年

美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一台电子计算机ENIAC。(设计者为埃克特、莫希莱等人)。

法国的外耳建立现代代数几何学基础。

中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。

苏联的盖尔芳特、诺依玛克建立罗伦兹群的表示理论。

１９４７年

美国的埃·瓦尔特创立统计的序贯分析法。

１９４８年

英国的阿希贝造出稳态机，能在各种变化的外界条件下自行组织，以达到稳定状态。鼓吹这是人造大脑的最初雏型、机器能超过人等观点。

美国的诺·维纳出版《控制论》，首次使用控制论一词

美国的申农提出通信的数学理论。

美籍德国人弗里得里希斯、理·柯朗总结了非线性微分方程在流体力学方面的应用，推进了这方面的研究。

波兰的爱伦伯克、美国的桑·麦克伦提出范畴论，这是代数中一种抽象的理论，企图将数学统—于某些原理。

苏联的康脱洛维奇将泛函分析用于计算数学。

１９４９年

开始确立电子管计算机体系，通称第一代计算机。英国剑桥大学制成第一台通用电子管计算机EDSAC。

１９５０年

英国的图灵发表《计算机和智力》一文，提出机器能思维的观点。

美国的埃·瓦尔特提出统计决策函数的理论。

英国的大·杨提出解椭圆型方程的超松弛方法，这是目前电子计算机上常用的方法。

美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。

１９５１年

五十年代以来，“组合数学”获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等。(美国 霍夫曼，马·霍尔等)

１９５２年

美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理(即希尔伯特第五问题)。

１９５３年

美国的基费等提出优选法，并先后发展了多种求函数极值的方法。

１９５５年

制定同调代数理论(法国 亨·加当、格洛辛狄克，波兰 爱伦伯克)。

美国的隆姆贝格提出求数值积分的隆姆贝方法，这是目前电子计算机上常用的一种方法。

瑞典的荷尔蒙特等制定线性偏微分算子的一般理论。

美国的拉斯福特等提出解椭圆形或双线型偏微分方程的交替方向法。

英国的罗思解决了代数数的有理迫近问题。

１９５６年

提出统筹方法(又名计划评审法)，是一种安排计划和组织生产的数学方法。美国杜邦公司首先采用。

英国的邓济希等提出线性规划的单纯形方法。

苏联的道洛尼钦提出解双曲型和混合型方程的积分关系法。

１９５７年

发现最优控制的变分原理(苏联 庞特里雅金)。

美国的贝尔曼创立动态规划理论，它是使整个生产过程达到预期最佳目的的一种数学方法。

美国的罗森伯拉特等以美国康纳尔实验室的“感知器”的研究为代表，开始迅速发展图象识别理论。

１９５８年

创立算法语言ALGOL(58)，后经改进又提出ALGOL(60)，ALGOL(68)等算法语言，用于电子计算机程序自动化。(欧洲GAMM小组，美国ACM小组)

中国科学院计算技术研究所试制成功中国第一台通用电子计算机。

１９５９年

美国国际商业机器公司制成第一台晶体管计算机“IBM 7090”，第二代计算机——半导体晶体管计算机开始迅速发展。

1959～1960年，伽罗华域论在编码问题上的应用，发明 BCH码。(法国 霍昆亥姆，美国 儿·玻色，印度 雷·可都利)

１９６０年

美国的卡尔门提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。

苏联的克雷因、美国的顿弗特建立非自共轭算子的系统理论.

来源于维基百科

导读：本文是李大潜院士在复旦大学数学科学学院新生迎新大会上的讲话，随后演讲稿在朋友圈爆红。没错，一篇关于数学的演讲稿竟然就这么火了，你或许会一脸懵B。那么就看看，李大潜院士是怎样用数学解答你的困惑的……

引文摘要：

一.数学的影响和作用可以说是无处不在的

1. 数学是一类常青的知识
2. 数学是一种科学的语言
3. 数学是一个有力的工具
4. 数学是一个共同的基础
5. 数学是一门重要的科学
6. 数学是一门关键的技术
7. 数学是一种先进的文化

二、数学教育看起来只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育

1. 自觉的数量观念
2. 严密的逻辑思维能力
3. 高度的抽象思维能力
4. 认真细致、一丝不苟的作风和习惯
5. 精益求精、力求尽善尽美的习惯和风格
6. 建立数学模型、运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力
7. 解决问题的能力培养
8. 为学生打开自由创造的广阔天地

真正学好了数学，不管你将来从事哪行哪业，都会让人变得更聪明，更有智慧，更有竞争力，终生受用不尽。

先打好一个数学基础，将来转入到其他各行各业发挥作用。应该说这也是学习数学的一个良好的出路和动机，众多有着良好数学基础和修养的毕业生进入各行各业，不仅会从根本上改变这些行业的面貌，而且对数学发展本身也提供了良好的外部环境和带来极大的推动，同样是值得鼓励和支持的。

但是，尽管将来要进入各行各业，你们和其他人相比的优势不在别的地方，而在你们数学上的积淀；你们将来在新的环境中能不能脱颖而出，靠的也只能是你们在数学上的优势，而不是其他！你们将来的着力点，应该是在数学与其他学科交叉与融合的结合部上，这就是现在人们大力提倡的工业与应用数学。你们的奋斗目标同样应该是成为一个数学家，而且是一个真正意义上的工业与应用数学家。

树立一个崇高的奋斗目标，努力学好数学，尽可能学得出类拔萃，不仅是现阶段对你们的学习要求，也是对你们未来发展的战略性投资，是终生受用不尽的。

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        温哥华一位叫Lisa Yang的家庭主妇，她通过长达十余年坚持在家自授孩子数学和逻辑课程，培养出了三个优秀的“天才”孩子。

1. Rachel，19岁。11岁特招进入全球Top30大学UBC天才班，14岁升入UBC大学主修神经科学教育专业，18岁进入美国哥伦比亚大学深造，一年后，即19岁时获得神经科学教育硕士学位。 

2. Andrew，17岁。11岁时获得美国奥数10年级水平竞赛T0P1%排名，10年级时代表加拿大参加IMO比赛（全加拿大仅选6人作为代表）并获奖。10年级开始选修UBC数学系本科数学，连续三年成绩为A+，多次满分。15岁开始作为志愿者在加拿大一所普通公校开设免费的数学俱乐部，其学生连续三年在全加拿大获得Top1席位。16岁时第一次参考SAT获得满分。

3. Nathan，10岁。6岁时被老师要求做智力测试，测试结果显示其智力水平为三岁龄儿童。10岁时再次被做智力测试，被学校称赞为“天才”少年，因为他领先至少两个年级水平，并开始收获数学竞赛奖牌。

   

     Lisa家庭全家福（右起）Lisa Yang, Andrew, Nathan, Rachel及Lisa的爱人

        Lisa Yang认为一个人的能力包含众多方面，但思维能力特别是逻辑思维能力，则是一切其他能力的基础。思维能力越强，人的能动性就越高，人的行动就越有目的性和计划性，就越有利于达到目标。在一定程度上，数学和逻辑课程对思维能力的提升，奠定了其他学科的学习基础。

1. 数学语言由浅入深，解题能力的提高就是对语言文字理解力的不断提升，解题的过程对孩子而言也是最好的“通关游戏”。

2. 数学题的答案可以是标准的，又是开放的，解题的思路可方法可以多种多样，能有效调动孩子的思维的积极性。

3. 数学教学容易出效果，孩子能感受到自己付出努力后的进步，提升学习动力和自信心。

Lisa的大儿子Andrew在10年级时代表加拿大参加第57届国际奥数大赛并获奖

        作为家长，大家都纠结于自己的孩子够不够聪明。斯坦福大学教授Carol S. Dweck博士在研究“自我驱动力”和“大脑成长”的实验中就着重研究了“聪明”和“努力”的关系及对成长的影响。

        实验将128名五年级学生分为两组进行简单的智力测试，A组被告知他们的来自于他们的“智商”，即非常聪明；B组则被告知他们的好成绩是努力的结果。研究人员对A组的智力表示赞赏，对B组的努力而称赞。当被问及他们是否想要进行一些更难的测试时，被称赞聪明的孩子是不情愿的。然而，那些被赞扬他们努力的人中，90％的人渴望做出更具挑战性的任务。在最后的测试中，努力组的表现明显优于赞扬其智慧的团体。

        通过这个实验：被标记为“聪明”的孩子表现最差，“辛苦的工作者”得到了一个信息，他们可以通过努力来提高分数，但“聪明”的孩子们相信他们的智力会让他们做的很好，努力意味着对自我高智商的浪费。

        Lisa的教育理念和Carol S. Dweck博士的实验观点非常契合：大脑是具有成长性的，每天的数理逻辑教授就是对大脑的刺激和按摩，称赞孩子的努力和付出，而不是孩子超群的智商。要明白，孩子的“努力”家长的“肯定”远比“聪明”更能帮助孩子成才，这是每个家长培养孩子的前提。

 要点总结:

1. 美国的私立中学很早就给孩子上微积分等高等数学了，而我们对微积分、线性代数等高等数学是严格限定在大学学习的，中学属于严重超纲的状态.其实在我们嘲笑美国孩子只会计算器的时候，人家的英才们已经学了我们孩子不会的微积分和线性代数等高等数学了，这才是差距。而且在微积分和线性代数的运算练习当中，自然而然的解决了我们中小学的计算问题。这里我们要注意到的是我们的计算的解决是通过孩子很小的时候的大量刻意练习来解决的，人家是通过思考微积分等高难问题时自然而然的解决的，这样的学习过程，痛苦指数差距是巨大的。
2. 西方的英才教育体系，让他们的英才都学了两轮高等数学，比起我们的教育体制，只学一轮的中国学霸，当然就是薄弱多了。因此中国所谓的数学好，只不过是初等数学阶段的好，在高等数学阶段，我们的教育全面不足。
3. 中国孩子是不断的练习加减乘除运算，但对加减乘除背后的含义理解却非常不到位。我们计算器可以替代的，恰恰是你运算的部分，不能替代的是你对加减乘除的理解！
4. 我们对高等数学当中的微积分、概率统计和线性代数的理解，才是我们现代社会思考和发展的基础，我们的理工科离不开这些不说，关键是文科当中，这也非常关键。我们数学只强于计算而对数学的理解不够，这个数学内涵理解的差距，就是把各种问题形而上为数学问题的能力也不足，这个能力不足，你数学能力再好，创造性也难以得到助益！
5. 中美的数学教育在顶尖领域差距其实是很大的，我们是初等数学强于美国，但高等数学教育则是比美国弱的，进入大学即使是奥数金牌，因为中学教学大纲的限制，接触高等数学的机会没有，也比美国招生的顶尖学生吃力。
6. 中国为何不能如美国那样在中学里面有微积分等课程？这背后其实是老师的差距！中国很多中学的师资水平是很低的，当年的师范生的考分怎样大家都清楚，在基层专科生甚至中专生也在教中学，你要开设微积分，那需要多么强大的教师队伍？不过在我们高等教育不断普及的今天，中学教师的学历普遍上去了，但教师的水平怎样？学历贬值一样影响很大。

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引文摘要：

人生，并不是拿来用的。

人生最重要的东西，其实大都没有什么用：爱情，正义，自由，尊严，知识，文明，但这些才是与你一身相守的东西，是你生命最重要的存在，会在最灰黯时刻拯救自己。

无用之用，方为大用

世界沉默着，但它总用时间提点世人，许多“大用”，都是从那些看似无用的智慧之学中衍生出来的，“无用”之中常常隐藏着有用的潜质。

数学是一种思维训练

拥有数学思维在任何时候都是让人高看的。人类区别于其它动物的思维方式之一，就在于人类懂得运用理性思维去克制自己“非理性”的一面，懂得运用数学去处理生活中各种纷繁复杂的事物。掌握了数学知识的人，就像戴了一副X射线眼镜一样，可以透过现实世界错综复杂的表面现象，看清其本质，并将其为己所用。

万物皆数

数可能的确不是宇宙的本源，但它却与世间万物都有着密切联系，是各个学科的基础。

孩子，我只要你爱上数学。

秋日来临，你会在那飘零的落叶中，想起一段美妙的函数方程，心底恬静而安详。那是一种更广阔的生命体悟，那是支撑人类活着最为柔软而又最为坚固的力量。那种感觉，是穿越千年的与智慧结晶的心意相通，神奇地妙不可言。

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