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2019年7月27日
自欧几里得数据分析报告发布以后，有很长时间没有做滑铁卢系列数学竞赛的数据分析报告了。事实上，我们已经完成Pascal数学竞赛相关数学题库的整理工作好长一段时间了，只是缺一份数据分析报告。前段时间一直忙于美国数学竞赛、COMC以及竞赛教程系列题库的整理工作，对于滑铁卢系列9-11年级的数学竞赛重视程度不够。
最近在AMC10的培训班上我们发现，部分同学因为前期缺少竞赛相关的培训，直接学习AMC10的课程刚开始会发现难度比较大，学起来有些吃力。
通过我们对滑铁卢竞赛系列和美国数学竞赛系列的对比，我们发现对这些同学来说，参加滑铁卢Pascal或Cayley数学竞赛是一个比较好的中间缓冲阶段。
滑铁卢帕斯卡Pascal(本文简称Pascal)数学竞赛，对15岁以下的九年级学生开放。为纪念法国数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal ，1623－1662）而命名。
Pascal通常在每年二月中旬举行，北美比其他地区会提前一天考试。满分150分，分为A、B、C三部分，答题时间一个小时。全部为选择题，若空着不填，此题可加两分，打错则不拿分数。不提供中文版试题。
A部分10道题，每道题5分，简单基础题，有一部分是送分题；
B部分10道题，每道题6分，基础题，基础好的同学基本都可以答出；
B部分5道题，每道题8分，真正的竞赛题，尤其是最后两道题，难度比较大，顺利解出的话需要的步骤有时候会超过AMC10的题目。
先来看看2019年Pascal的参赛人数：
去年有30784名同学参加了Pascal。
再来看看分数排名表：
可以看到去年有9人获得了满分，要进入Top 25%需要获得102分以上。
这是Pascal 23年来所有真题经过知识点为根的结构入库并通过数据分析得到的报告：
排在第一位的是滑铁卢系列数学竞赛出题者的最爱——面积，一共出现了55道，平均每套题2.4道。
将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal在难题方面对几何面积题也偏爱有加，一共有15道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：
2019年第25题；
2018年第23题；
2016年第23题；
2015年第21题；
2009年第22题；
2007年第23题；
2005年第22题；
2004年第25题；
2003年第24题；
2003年第22题；
2002年第24题；
2001年第22题；
2000年第21题；
1998年第25题；
1998年第24题；
......
面积题的重要性前面一些文章当中已经有过详细说明，本文不再赘述。
排在第二位的是基础练习。所谓基础练习，基本上是加、减、乘、除四则运算，大部分是送分题，基础好的孩子一看就会的那种。这是滑铁卢系列数学竞赛的风格，在前面10道题中间塞了不少测试数学基础的题目，这些题目基本上处于期末小测验的难度，所以仍然把滑铁卢数学竞赛当成国内奥数的家长朋友需要改变一下观念，最好把滑铁卢数学竞赛的前面20道题看成是给孩子一个数学期末考试的机会。
看个例子大家就明白这一点了。
例如2019年Pascal的第一题：
你觉得这是9年级的数学竞赛题吗?
是不是有点无语呢。
我在高斯数据分析报告文章中曾经提到过，如果孩子同年级去参加高斯数学竞赛得分在100分以下，需要对孩子的数学基础引起重视，要不然的话到高中阶段可能会影响到其他学科的学习。
这句话对Pascal数学竞赛的结果依然适用，即如果孩子9年级参加Pascal数学竞赛成绩在100分以下，需要建议孩子对数学学习引起足够重视了。
分数和百分数都是Pascal的考察重点，分别占据第三名和第四名的位置，基本都是题号为1-20的基础题目。此类题目逻辑比较简单，很少在第三部分8分题考察，偶尔出现也会与其他知识点结合后亮相。
分数和百分数题目还有一个特点就是喜欢与图形结合出现，利用图形进行直观、生动、形象地表述，增加考生对于题目的感性认识和理解深度，从这一点上来说Pascal的题目在人性化设计方面还是可圈可点的。
下面我们来重点聊聊9年级新增的方程应用和三角形角度这两个知识点吧。
利用方程解题一直是滑铁卢数学竞赛重点考察的数学能力之一，在高斯7年级的题目中简易方程应用解题还处在第23名的位置，高斯8年级升到第10名的位置，9年级的Pascal立即升到第5名的位置。
将数据分析的范围限定在最后5道真正的竞赛题上面，我们发现Pascal一共有6道难题落在了21-25题的范围之内，详细清单如下：
2019年第25题；
2016年第22题；
2015年第22题；
2013年第24题；
2008年第23题；
2005年第22题；
当然方程应用需要解决一些实际的数学问题，所以一般会与面积、周长、文氏图、数据报表、数论等领域的知识点结合起来出现。
例如2013年Pascal的第24题就是一道结合文氏图用方程解题的典型案例：
题目原文翻译如下：帕斯卡高中准备组织三种不同的旅游。50%的学生参加了第一种，80%参加了第二种，90%参加了第三种。一共有160名同学参加了所有三种旅游，其他所有同学正好参加了其中的两种旅游。请问帕斯卡高中一共有多少个学生？
有经验的同学一看题目应该就会知道此题在考文氏图，需要利用文氏图来造方程。
如果假定帕斯卡高中共有x人，结合文氏图：
假定参加第一种和第二种而没有参加第三种的人数为a;
假定参加第一种和第三种而没有参加第二种的人数为b;
假定参加第二种和第三种而没有参加第一种的人数为c;
根据题目条件，可以得到：
(1) 0.5x=a+b+160;
(2) 0.8x=a+c+160;
(3) 0.9x=b+c+160;
(4) x=a+b+c+160;
上述式子稍作合并即可解出x:
所以答案选D.
三角形内角和等于180度，看似简单的几何知识，在滑铁卢系列的数学竞赛中，从高斯7年级一直考到费尔马11年级。
在9年级Pascal数学竞赛中居然登上了第六名的位置。
此类角度计算题没有难题，大多处于题号1-20的位置，通过添加辅助线或者设未知数建立方程，基本都可以轻松解出。
例如2016年的第20题：
题目原文翻译如下：在上图中，QT和RV分别是角平分线，求∠QUR的度数。
此题不难，解法可谓五花八门，只要利用三角形内角和为180度这一基本常识，通过未知数x和y建立方程，用解方程的方法基本都可以找到答案，差异仅仅在于解题的速度。
这是滑铁卢官方给出的解答：
下面介绍两种快速的解法。
解法一：利用三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，可以很快得到：
(1) 2x=38°+∠QRW;
(2) 2y=38°+∠RQW;
(3) 38°+∠RQW+∠QRW=180°;
(1)+(2)并用（3）换掉右边，立即得到：
2x+2y=38°+180°=218°;
于是x+y=109°;
在三角形QRU中，利用对顶角相等的性质，可以得到：
x=∠RQU;
y=∠QRU;
故∠QUR=180°-(x+y)=180°-109°=71°,答案选A;
解法二：连接WU得到
由解法一我们已经得到：
x+y=109°;
而由三角形一个外角等于所对的两个内角之和这一性质，我们有：
x=∠1+∠2;
y=∠3+∠4;
故x+y=∠1+∠2+∠3+∠4;
由条件∠1+∠3=38°，从而：
∠QUR=∠2+∠4=109°-38°=71°,答案选A。
通过解法二估计大家看到了辅助线在解几何题时发挥的威力。事实上，几何基础好的同学通过这种解法可以在数秒内通过心算给出本题的答案。
这就是几何辅助线的魅力所在，也是大多数高难度的几何题能够快速解出的关键所在，例如今年2019 IMO的第二道题：
此题输入很简单，只有PQ平行AB这一条件，没有辅助线要想解出着实难度太大，只要把辅助线添加到位，估计几何好的高中同学都可以解出：
...
通过本分的分析，相信大家对于滑铁卢Pascal数学竞赛已经有了一个基本的了解。
今天早晨正好看到一篇对比中国高中教育体制和加拿大教育体制的文章，文中提到两者最大的差异其实在于结果导向不同：
中国教育体制直接对准高考，一切为高考做准备，一切以高考为目标；
加拿大的教育体制则不同，培养目标是合格的全球公民，这与高等院校想要寻找的精英人才，是不完全在一个区间的。这是北美教育的优势，也恰恰是造成学生和家长诸多困惑的根源所在。问题的症结，就是你想培养一个什么样的人才，或者说家长希望孩子成长为什么样的人才。
...
最后这个问题问得好，关键是家长希望孩子成长为什么样的人才。
估计大多数家长带着孩子来到加拿大，都希望自己的孩子成为高等院校想要寻找的精英人才。如果您给出的答案是这一选项，如前文所述，建议您不要把Pascal等滑铁卢系列数学竞赛和中国奥数划上等号，鼓励孩子学好数学，把Pascal数学竞赛看成是9年级数学年终期末考试可能会更好。
往期数据分析报告原创文章链接：
2019年7月7日
本文与上一篇文章中间间隔的时间有点长。
向各位读友解释一下原因：这段时间主要在集中精力完成Rootofmath.com数学题库建设。
刚刚从数据库中查了一下数据，目前Rootofmath.com分类整理的北美数学竞赛题已达到49258道，内容涵盖从5年级到12年级诸多常见竞赛专题，大部分题库在内部培训使用状态中。如需了解题库的更多信息，请关注公众号"智能未来数学"的后续文章。
想要刷题的同学应该可以通过Rootofmath.com找到刷不完的题了——当然我们不建议孩子们通过这种方式学数学。智能未来数学倡导从根上学数学(Rootofmath.com的由来),做题要系统，要精，不刷同质题。
言归正传，回到今天本文的主题。
一、AMC12简介
AMC12是12年级美国数学竞赛的简称，12年级及以下并且考试当天在19.5周岁以下的同学都可以参加。
AMC12考察的知识点包括除微积分以外的所有中学数学知识，如三角函数、复数、不等式、对数等等，难度明显高于AMC8和AMC10。
AMC12的前身叫AHSME,AHSME自1950年开始举办，在1999年以前都叫这个名字。因为AHSME的题目相对比较简单，所以本文不涉及AHSME的真题分析。
本文基于对AMC12从2000年到2019年20年共38套试卷的分析，包括AMC 12A和AMC 12B,自2002年以后是每年2套，2000年和2001年不分12A和12B,只有1套，所以一共是38套试卷，950道真题。
细心的读友肯定会问：为什么有12A和12B之分呢?
AMC12每年有两次考试机会,分别是12A和12B,12B一般比12A晚一周考试。考生需要提前问询组织学校的考试时间，一般学校每年只组织一次。
AMC12每套试卷共25道题，满分150分，要求答题者在75分钟之内完成。考察范围较广，难度较大，需要应试者具备扎实的数学功底和思维发散性，很多题目都需要一些特殊的技巧才能解出。
先来看看2019年AMC 12的分数分布情况。
这是2019年AMC 12A:
这是2019年AMC 12B:
可以看到，全球有近5.5万名考生参加了AMC 12的考试，33人拿到了满分，要进全球Top 1%需要获得121.5分以上，进全球Top 5%需要获得84分以上。
二、历年真题数据分析报告
通过较长时间对AMC12历年试卷所有真题进行分析，使用出题对应的知识点作为根结构，将所有真题分类整理进入数据库以后，再运用数据分析的手段形成的报告如下：
可以明显地看到，AMC 12在Precalculus方面出题力度较大，三角函数、不等式、对数都进入了TOP 6知识点排行榜。
排在第一名的仍然是几何图形的面积，不过比AMC 8和AMC 10难度增加了很多，87道面积题中有17道出现在了最后5道难题中。AMC 12的几何图形面积题与三角函数、解析几何、无穷数列、复数、不等式等知识点结合得比较紧密，究其原因在以前发布的数据分析报告中有过详细说明，感兴趣的读者可以阅读过去的文章，本文不再赘述。
排在第二名的概率题共有71道真题，其中23道出现在了最后5道难题中。AMC 12的概率题与排列组合、数论、几何面积、不等式、复数空间、无穷级数等内容掺杂在一起出题比较常见,难度较大。
排在第三名的方程应用题共有62道，其中7道出现在了最后5道难题中，通过设未知数建立方程解题是非常有效的数学方法，在许多问题的解题过程中都可以看到方程应用的影子，在欧几里得和COMC的数据分析报告中已经有过详细的论述，本文此处略过。
下面我们来重点分析一下AMC12新增的三大常考知识点:三角函数、不等式和对数。
三、压轴章节-Trigonometry
三角函数(Trigonometry)作为中学数学的压轴部分，一般放在PRECALCULUS11-12的最后阶段进行学习，需要理解记忆的公式很多，而三角函数是微积分研究最重要的函数之一，其重要性不言而喻，进入AMC 12 TOP 6知识点排行榜是理所当然的。
根据数据统计，AMC 12中共出现了30道三角函数相关的真题，平均下来每年1.5道。
通过将真题范围限定在最后5道难题中，我们发现有16道分布在21-25道题之间，清单罗列如下：
2003 AMC 12B的第23题；
2004 AMC 12B的第24题；
2005 AMC 12B的第24题；
2006 AMC 12B的第24题；
2008 AMC 12B的第25题；
2009 AMC 12B的第24题；
2012 AMC 12B的第25题；
2014 AMC 12B的第25题；
2015 AMC 12B的第25题；
2004 AMC 12A的第21题；
2007 AMC 12A的第24题；
2008 AMC 12A的第24题；
2008 AMC 12A的第22题；
2010 AMC 12A的第24题；
2019 AMC 12A的第25题；
2018 AMC 12A的第23题；
......
三角函数的繁杂性决定了可以出难题的空间非常大，看来MAA(美国数学协会)是认准了这一点。
下面以2004 AMC 12A的第21题为例看看AMC 12里面的三角函数题长啥样吧：
这是一道三角函数与无穷等比级数结合的题目，看着比较吓人，其实考生只要将等比数列的求和公式与三角函数的倍角公式结合起来考虑可以轻松得解：
根据无穷等比级数的求和公式，
左边求和=
化简一下可以得到：
再利用三角函数2倍角公式：
答案选D。
四、范围搜索利器-Inequality
不等式(Inequality)是AMC10以后新学的内容，是数据筛选及数据范围搜索方面强有力的工具，在寻找最大值、最小值等最优化问题方面用处极大，尤其是在计算机算法设计方面，如果对于不等式相关原理非常熟悉，往往能够获得高效简单的快速算法。
因此不等式作为考察重点，在AMC12中占据第5名的位置顺理成章。
38套题37道不等式方面的题目，平均下来每套题一道不等式。
将分析限定在最后5道难题，我们发现11道不等式方面的题落在了该范围之内，清单罗列如下：
2006 AMC 12B的第24题；
2010 AMC 12B的第24题；
2011 AMC 12B的第23题；
2015 AMC 12B的第23题；
2003 AMC 12A的第25题；
2011 AMC 12A的第23题；
2014 AMC 12A的第25题；
2019 AMC 12B的第25题；
2016 AMC 12A的第24题；
2002 AMC 12B的第25题；
2002 AMC 12B的第24题；
下面以2013 AMC 12B的第17题为例：
题目原文翻译如下：
满足如图中的c的最大值和最小值的差是多少?
对于熟悉不等式性质和二次方程的同学来说，这道题基本上是送分题。
只需要利用：a+b+c=2
得到：
再利用柯西-施瓦茨不等式，可以得到：
化简以后可以得到：
通过二次方程的根很容易解出此不等式：-2<=c<=10/3.
因此答案是：10/3-(-2)=16/3.
选D.
五、化乘除为加减-Logarithm
以前一直感叹对数题(Logarithm)在北美数学竞赛中见得太少,在滑铁卢系列和COMC系列所有竞赛中，所有的对数题全部加起来，也只有区区22道。
对数的神奇在于化乘除为加减，能够将指数形式的乘除运算迅速化解为简单的加减运算，从而大大减低问题的难度和复杂度而快速得解。
在微积分中，对数函数因其导数的特殊性成为解决其他复杂问题的一个快速绿色通道；而在计算机人工智能等算法设计过程中，很多人更是对对数函数青睐有加。
所以我一直为对数函数抱不平，如此重要一个角色，怎么能被各大竞赛所忽视了呢?
这次对数函数终于在AMC12中找到了平衡，到达了排行榜第四名的位置，一共出现了45次，平均每年2.25道题。
将分析限定在最后5道难题，我们发现16道对数相关的题落在了该范围之内，清单罗列如下：
2005 AMC 12B的第23题；
2008 AMC 12B的第23题；
2013 AMC 12B的第22题；
2016 AMC 12B的第25题；
2000 AMC 12的第23题；
2003 AMC 12A的第24题；
2005 AMC 12A的第23题；
2005 AMC 12A的第21题；
2006 AMC 12A的第21题；
2007 AMC 12A的第23题；
2009 AMC 12A的第24题；
2010 AMC 12A的第24题；
2013 AMC 12A的第21题；
2014 AMC 12A的第21题；
2019 AMC 12A的第23题；
2002 AMC 12B的第22题；
下面我们以2002 AMC 12B第22题为例来说明AMC 12如何考察对数函数：
此题是一个对数数列，而下标n是对数的底数，很自然想到通过对数换底公式将n换成真数:
然后简单地把b和c的值代入做运算：
加减法变成了乘除法，经过简单运算可以得到：
答案选B。
六、总结
通过本文的分析，相信大家对于AMC 12有了一个基本的了解。
鉴于AMC 12对于PRECALCULUS预备微积分中的三角函数、不等式、对数、复数等内容考察比较多，建议想要参加AMC 12的考生能够提前学习这部分的内容。
按照一般学校的教学计划，这些内容都会在11-12年级进行学习。如果按照学校教学计划走，在12年级下学期才有可能去参加AMC 12，在此阶段即便取得好的AMC 12的成绩，可能对于大学申请的帮助也不会太大了；而且12年级的时候同学们的学习任务都比较重，同时准备AMC12，估计时间和精力上都会不够。
因此我们建议想要参加AMC12的同学最好在10年级的时候就开始准备，通过完成PRECALCULUS预备微积分相关内容的学习，在10年级或11年级取得AMC 12的好成绩是比较完美的方案。
2020年AMC 12A的考试时间为2020年1月30日，AMC 12B的考试时间为2020年2月5日。
希望有意参加AMC12的同学们早做计划和准备，预祝大家考试成功！
往期数据分析报告原创文章链接：