购物车中没有商品
2020年6月30日
陶哲轩最令人羡慕之处，不在于惊人的天赋和出色的成就，而在于坐拥这些天才和成就的同时，也能成长为一个享有健康生活的快乐的“普通人”。 不做“神童”，放慢步调成长 当你发现自己的孩子是个天才神童，你会怎么办？许多人的第一反应都是有点慌，陶哲轩的父母陶象国与梁蕙兰也不例外。 从奥数神童到数学家 在数学界，存在着一个有趣的现象。 普林斯顿大学 是天才，也是幸福的普通人
2020年5月11日
在对着乔治梅森大学最近的一届新生致辞时，丽贝卡·戈尔丁（Rebecca Goldin）传递了一个令人沮丧的数据：最近的一项研究显示，36%的大学生在大学四年时间里批判性思维并未显著提高。戈尔丁解释说：“这些学生很难区分事实和观点，也很难区分原因和相关性。”
接着，戈尔丁给出了一些建议：“多修一些数学和科学课程。我认为定量思维是处理我手头信息的最佳工具”。以她引用的研究为例，乍一看，这似乎表明三分之一的大学毕业生是懒惰或无知的，或者高等教育是一种浪费。但戈尔丁告诉她那些双眼发光的听众，如果你仔细观察，你会发现另一个信息：“原来，这三分之一的学生没有修过任何科学课程。”
戈尔丁是乔治梅森大学的数学科学教授，她毕生致力于提高人们的定量思维素养。除了研究和教学职责之外，她还志愿担任中小学数学俱乐部的教练。2004年，戈尔丁成为乔治梅森大学统计评估服务项目的研究主任，这一项目后来发展成为由非营利组织美国科学智识和美国统计协会运营的STATS项目。
当《量子》杂志第一次接触戈尔丁时，她担心自己的双重身份（数学家和公务员）太过“截然不同”，无法在采访中调和。然而在交谈中，我们很快就明显感觉到，在戈尔丁的这两个自我之间发挥沟通协调作用的，正是她的信念：数学推理和研究不仅用途广泛，而且令人愉快。无论是讨论在高维空间中操纵流形，还是讨论统计显著性的意义，她对逻辑的热情都颇具感染力。
《量子》杂志采访了戈尔丁，谈到了如何在抽象思维中发现美、STATS如何帮助记者精通统计知识，以及为什么数学素养可以提高人的能力。以下是经过编辑和精简的对话。
你对数学和定量思维的热情从何而来？
我小的时候从没想过自己喜欢数学。我非常喜欢数列和其他一些奇怪的东西，现在回想起来，这些东西都跟数学有关。我父亲是一名物理学家，他会在餐桌上提出一些奇怪的谜题或谜语，有时我只花一分钟就能解开它们，有时我会说：“唉，我实在不知道那是怎么回事！”但在解决问题的过程中，我的心情整体是轻松愉快的。
你是什么时候意识到，自己可以把对解决谜题的兴奋应用到专业的数学学习上？
其实已经很晚了。当我在哈佛大学读书的时候，我修了一门拓扑学的课。拓扑学是研究空间的学科，它跟我之前见过的所有课都不一样。它不是微积分，没有复杂的计算。拓扑学里的问题真的非常复杂而特别，而且很有趣，这是我从未预料到的。这种感觉有点儿像是坠入爱河。
你的主要研究方向是辛几何和代数几何。你如何向非数学工作者描述自己的工作？
可以这么说，我在研究数学对象的对称性。当你对宇宙一类的东西感兴趣时，对称就出现了。在我们的宇宙中，地球在自转，同时也绕太阳公转，而太阳又在一个更大的星系中旋转。所有这些旋转都是对称性。还有很多其他产生对称性的方法，它们可能会非常非常复杂。所以我们用一种被称为“群”的简洁数学对象来考虑这些对称性。这一点非常有用，因为如果你想解方程，你又知道这些方程中存在对称性，那本质上你就可以在数学上找到一种方法来扔掉这些对称性，让方程变得更简单。
是什么促使你去研究这些复杂的对称的？
我只是觉得它们真的很美。很多数学最终都是艺术性的，而不是实用性的。这就像有时你看到一幅有很多对称性的画，会脱口而出：“哇，真是太神奇了！”但当你学习数学时，你会开始“看到”更高维空间中的对象。你不一定要用雕塑或艺术品的方式来想象它们，但你会开始觉得你所看到的整个对象系统以及它的对称性真的很美。就是美，没有别的好词来描述这种感觉了。
你是如何参与STATS的？
当我成为乔治梅森大学的教授时，我意识到自己想做的不仅仅是研究和数学。我喜欢教书，在象牙塔里，我只是在解决自己认为好奇和有趣的问题，但我也想为象牙塔之外的世界做点什么。
当我第一次加入后来成为STATS的项目时，这个工作有种“挑刺儿”的意思：观察媒体如何谈论科学和数学，并在有人犯错时指出错误。随着我们工作的进展，我对记者如何看待和处理定量问题越来越感兴趣。
报告统计数据时最常见的误区是什么？
最常出现的一个误区是混淆因果关系和相关性。人们会说：“哦，这很明显。这两者之间当然是有区别的。”但当你遇到挑战我们信仰体系的例子时，真的很难把它们分开。我认为，部分问题在于，科学家想探索的问题总是超出他们以现有工具能探索的范畴，而且他们不会每次都明确地告诉你，他们回答的问题未必是你认为他们在回答的问题。
比如，你可能想知道服用激素对已绝经的女性是有益还是有害。所以你会从一个定义明确的问题开始：它是有益的还是有害的？但你不一定能回答这个问题。你能回答的问题是，与对照组（即普通人群）相比，你在研究中招募的那些服用激素的女性（也就是那些特定的女性），她们的心脏病、乳腺癌或中风的发病率是增加了还是减少了。但这可能无法回答你最初的问题——“我也会这样吗？或者像我这样的人呢？或者整个人群呢？”
你希望STATS达到什么目的？
我们的一部分目标是改变新闻界的文化，使人们认识到使用定量论证、并在得出结论前考虑定量问题的重要性。通过这种方式，他们得出的结论是有科学依据的，而不是利用某项研究来推进他们自己的议程——而后者也是科学家可能会做的事：他们可能会有意暗示对某件事的某种解释。我们希望记者们能够在思维上拥有一定的严谨性，当有科学家对记者说“你就是不理解我的复杂统计数据”时，记者就可以挑战他们。
你认为统计素养赋予了公民一种力量。这是什么意思？
我的意思是，如果我们没有处理定量信息的能力，那我们通常做的决定就会更多地基于我们的信念和恐惧，而不是实际情况。在个人层面上，如果我们有定量思考的能力，我们就能对自己的健康、在风险方面的选择和生活方式做出更好的决定。不管怎样，能不被吓着或逼着做事，是一种非常强大的力量。
在集体层面上，教育的影响一般来说是巨大的。我们越能让人们理解如何以定量的方式看待世界，我们就越能成功地克服偏差、信仰和偏见。
你还说过，让人们理解统计，需要的不仅仅是引用数字。为什么你认为讲故事对传递统计概念很重要？
作为人类，我们生活在各种各样的故事里。无论你的定量素养有多高，你都会受故事影响。它们就像我们脑海中的统计数据。因此，如果你只报告统计数据而不讲故事，人们就不会有那么多兴趣、情感或意愿来参与这些想法。
你在STATS的13年里，媒体对数据的使用情况发生了怎样的变化？
有了互联网，我们看到搜索引擎产生的数据有了大幅增长。记者们越来越善于收集这类数据，并在媒体文章中使用它们。我认为，现任总统特朗普也引发了我们对所谓事实的诸多反思，从这个意义上来说，记者们一般认为掌握事实真相越发重要。
那很有意思。所以，你认为公众对“假”新闻和“另类”事实的认识，正在促使记者们更严格地核查事实？
我确实觉得这很有促进作用。当然了，有时信息会被扭曲，但最终只有极少数记者会扭曲信息。我认为95%的记者和科学家都在为实现这一目标而努力。
你也在儿童数学俱乐部做志愿者。你想让大家理解数学和数学文化中的哪些想法？
我试图引入一些真正不同的、有趣的、引人好奇又奇怪的问题。例如，在一场为孩子们组织的活动中，我带了一堆丝带，让他们了解了一点儿扭结理论。我想让他们明白两件事：第一，学校里的数学并不是全部——还有一个完全不同的世界，它合乎逻辑，同时也优美且富有创造性；第二，我必须让他们感受到：数学是一种快乐的体验
本文摘自《素数的阴谋》（托马斯·林/编著，张旭成/译，中信出版集团·鹦鹉螺，2020年3月）。
2020年5月8日
当代中国数学教育三座学术高峰之一的张奠宙教授曾经发布的一篇文章，在文章里这样写道："陶哲轩是2006年的菲尔兹奖获得者，是当今数学界公认的天才之一，在他5岁生日过后，就迈进了离家2英里外的一所公立学校，这所小学的校长答应给陶哲轩提供灵活的教育方案，刚进校时，他和二年级孩子一起学习大多数课程，数学课则与5年级孩子一起上，
7岁时，陶哲轩开始自学微积分，当时校长觉得小学数学课程已经无法满足陶哲轩，就成功地说服了附近一所中学的校长，让他每天去中学听一两堂数学课，1985年初，10岁生日前几个月，他有三分之一的时间在弗林德斯大学度过，修大学二年级的数学，一年级的物理，余下时间在高中学12年级的化学、11年级的地理和拉丁文、10年级的法语、9年级的英语和社会学，墨尔本大学卓越数学教育国际中心主任Garth Caudry教授每周三的下午都和他会面，讨论数学问题"。
1983年4月27日，一篇名为《陶哲轩、7岁、出色的高中生》的报道让克莱门茨首次知道了这个名字，在报道里说，陶哲轩花五分之二的时间在高中学习11年级的数学和物理，其余时间在小学学习，他生于1975年，2岁开始学读写，7岁时已有了16岁学生的学业能力，而且学得轻松，理解透彻，与班上同学相处得很好，
他总是比别的学生提前二节课完成所有的数学作业，他的爱好包括计算、玩电子设备、看科幻小说，他父亲陶象国是医生，出生上海，母亲梁惠兰生于香港，毕业于数理专业，他们1972年从香港移居澳大利亚，还有两个比陶哲轩小的孩子，由于多年来对数学超常儿童的兴趣，克莱门茨细读了这篇报道，并觉得陶哲轩的父母和老师在试图满足他的特别需要方面是足够大胆的，但当时因故没准备去研究他，
1983年6月，在受邀作一个题为"数学特殊才能学生的鉴定"的报告，他提到了关于陶哲轩的报道，讲演后，一位听众向他自我介绍说自己就是陶哲轩的父亲，并邀请他去其家里对陶哲轩的数学能力和行为作出评估，在7月16日，克莱门茨应邀来到其家中，当时，陶哲轩还不满八岁，当走进他家时，他正在房里读一本《微分几何》，闲谈片刻，克莱门茨按通常的超常儿童评估程序对陶哲轩进行了首次评估测试，
让他解澳大利亚教育研究协会（ACER）运算试卷的60个问题，并提醒他一开始不要嘲笑试题容易，因为试题是逐步变难的，陶则十分有趣地回答说："试题又没有耳朵，不会知道我是否笑话它们"，观察他的解答过程，克莱门茨明显看出试题对他太容易了，他完全正确地答对了60道题，按ACER标准，期望12年级学生答对53/60，并且他曾用此卷测过的许多智力优秀的小学生，其中没有一个人得分超过57/60，而陶哲轩还是所测学生中年龄最小的，接着，他又给了陶哲轩出了8个问题，并让其说出每道题的想法，不要求他书面写出，自己作记录，下面是问题和回答：
陶哲轩用9分钟回答了所有问题，他是克莱门茨所测试过的小学生中第一个全部答对的，在陶哲轩解答运算试卷时，他注意到陶常写下适当的代数法则去验证代数步骤，这促使他改变了正常的测试程序，在陶完成上述8个问题后，他们进行了下列谈话（M代表作者，T代表陶哲轩），
M：实数的加法结合律是什么意思？
T：你把括号放在任何地方都没有关系：（a+b）+....+c等于a+...+（b+c）
M：交换律是什么意思呢？
T：你可以改换顺序，a×b=b×a，a+b=b+a
M：群是什么？
T：（回答正确）
M：交换律怎样？
T：在阿贝尔群内成立
M：什么是域？
T：我不知道
M：什么是分配律
T：*对°分配，a*（b°c）等于（a*b）°（a*c）
M：请给我举个例
T：乘法对加法
M：加法对乘法呢？
T：仅在布尔代数中成立
克莱门茨被陶哲轩的回答惊到了，因为他只有7岁，但不仅惊人地掌握了代数定义，而且能自如地运用复杂的数学语言，接着，他又提出如下问题：正方形的边长增加3m，"新"正方形面积比原正方形大39m²，问新正方形边长是多少？
陶哲轩的书面解答见上图，至此，克莱门茨的首次评估测试开始形成初步印象：他喜欢用解析的，非直观的方法，而不太利用直观图象解题，在稍微休息后，他又让陶哲轩书面详细解答如下问题：
陶哲轩对问题2和问题3的解答加深了克莱门茨的看法，他喜欢用解析的，非直观解法策略，在完成这两道题后，作者又给他出了两道较为简单的问题：描出y=x²+x的草图，陶立马完成，接着再让他求出拐点坐标，他写道：dy/dx=2x+1，x=-1/2，y=-1/4，（-1/2，-1/4），而这个回答仅仅只花了20秒钟，问题2，描出y=x³-2x²+x的图象，他约用了1分钟作出如下图的解答，反映出他对微分的掌握情况.
在离开陶哲轩的家之前，克莱门茨向他的父母询问了其智力发展背景和他们的态度，陶的母亲教过中学科学、物理、化学和数学，她有时会指导陶的数学学习，但帮助不大，因为他不喜欢别人在数学方面告诉他该做什么，他喜欢自学数学，放学后常花3-4小时的时间来阅读数学教科书，
第二次评估是在五个星期后，仍在陶的家里进行，此时他已满八岁，评估开始，克莱门茨让他考虑S=｛a+b√2：a、b∈R｝在加法运算下是否构成群，陶立即说道（S，+）是一个群，接着又问他（S，+，×）是否成域，他通过验证予以肯定回答，克莱门茨故意问他关于域的问题，是因为首次评估时他还不知道什么是域，而这次他的回答熟练而简明，已经可以与大学数学专业学生相比，
接着继续测试他对微积分概念和公式的掌握情况，他能说出x²、√x、sinx、sec²x、1/（1+x²）、1/√（1+x²）的导数，但还未学1/x的原函数，在让他求出1/（1-x²）的原函数时，他用代换x=cosθ得出∫dx/（1-x²）=∫-cosecθdθ后就不会做了，提示他用部分分式，但没能帮助他解出来，他对克莱门茨说下几周将学更多的积分内容，接着克莱门茨随手画出了下图，让他求阴影面积，他迅速用积分求出，又问他y=1/x²的图像（x≥1）与x轴所围面积，他亦能正确算得结果为1.
接着让他测试"Monash空间直观测试卷"，他答对27/30，而12年级学生常模平均得分只有24/30，他做错了三题，其中之一如下图1、2所示，如果，图1中的图形放置成图2后，图2中箭头所指的角1和角2原是图1中的什么字母？克莱门茨让陶哲轩说出解决这道题的思路，并作了录音，
他设想旋转二次使图1变为图2那样的位置，并确定了角1为J，但误认为角2为N，他告诉克莱自己对直观问题的转化有困难，在该试中他所犯的另一错误也是由于缺乏对直观图形进行复杂操作的能力，在分析陶上述空间测试答卷表明，他的空间能力发展得特别好，但在解题时，即使需要复杂的思维而又有许多直观方法，他也宁愿使用非直观的分析方法，而不太用需要直观想象的方法，
值得注意的是，伯登（Burden）等人1981年的研究成果指出：宁愿用分析方法而不太用直观方法的学生更善于解空间测试题，克鲁捷茨基则在1976年已指出，空间概念能力和直观抽象数学关系的能力都不是数学才能的必要组成部分，但它们影响个人的数学气质，在陶哲轩解答空间测试卷时，
克莱抄到了他在过去二年准备的22本数学书目，
其中有《矩阵与向量》《数、不等式、线性规划》《国际数学奥林匹克1957-1977》《逻辑基础》《微积分理论和应用》等，他习惯于从头至尾阅读数学书而不是只读几部分，他渴望别人对他应该再读什么书提出建议，陶的父亲告诉克莱门茨，他能惊人地记住自己读过的内容，在几次交谈中，陶哲轩不时打断谈话，和克莱说这是他曾经读过的东西，然后取来一本书，很快找出相关章节给他看，
在完成空间测试题后，克莱又给了他一个关于下述序列的开放性问题，该序列从第二项起每一项是前一项的各位数字的平方和，并让他回答下面四个问题，（1）哪些自然数产生像2和3那样的序列？（2）哪些自然数产生像1和7那样的序列？（3）哪些自然数产生的序列不像1和7产生的序列？（4）其他有趣的方面？并要求他在20分钟之内解答，克莱再次被他的正确解答给惊到了，
下午，克莱又给他出了下面这个问题，其中字母取值为0-9的整数，k=3，求其他字母所代表的数值，并要求他边做边说解法思路，陶很快解出，其解法的明显特点是偏爱于列出和解出关系方程，这又一次显示出他喜欢用分析的、逻辑性强的求解策略.
1983年9月17日，陶的父母再次邀请克莱门茨与弗林德斯大学的达尔森博士一起到他家讨论关于陶哲轩提早进弗林德斯大学的可能性，到家之后，达尔森与陶哲轩几乎谈到了各个数学专题，克莱门茨接着又出了几个问题，让他求出xsinx、e^xcosx、sinx/（sinx+cos）的原函数，最后一题他的解法，完全反映出他已熟知ln｜x｜是1/x的原函数，而上一次评估他还不知道，
再让他求（2x-4/x）^10的常数项，他表示二项式定理方面的题做得不多，于是努力构造帕斯卡三角形以求出答案，克莱门茨让他不需要立马给答案，可以等下次再告诉其快速求解的方法，果然，两星期之后，陶哲轩就能根据一般项迅速求出答案，克莱门茨看到他的一本近期数学作业本，本上每页底下写有日期，他发现陶经常一天在家做3页至5页练习，其中有解二阶微分方程、求积分等题目，有一道题反映出他已能熟用"部分分式法"求积分，而在上次测试时他还不知道，
对于陶哲轩肉眼可见的学习速度，克莱门茨再一次被惊到了，而关于陶哲轩将来的学习，他父母决定1984年不再让他去学校学数学，而在家中继续学代数结构、概率统计、计算数学和数学分析等内容，并且在明年，将他送到弗林德斯大学读数学学位课程，达尔森相信，即使陶哲轩在九岁就开始大学生涯，仍将比大多数大学一年级同学的数学好得多，不过还需要给他提供良好的特殊教育，克莱门茨也同意这一论断，并相信如果陶哲轩在今年就进入大学，也不会对大学数学课程感到困难，
在其家中，陶哲轩还提到了他对自己所编的"求完全数"的计算机程序非常满意，该程序于1983年11月由南澳一家学生数学杂志《Trigon》发表，这是他发表的第一篇文章，不过在1980年8月就曾有报道介绍他在一个儿童俱乐部的数学游戏中很快找出了"紧接在序列9182736后面的四个数字"是4554，还值得一提的是，他在1983年11月非正式参加南澳的大学入学数学I考试，这是给12年级学生取得大学入学资格的3小时考试，他不到2个小时答对93%，根据以上对陶哲轩数学才能和兴趣的评估，
克莱门茨得出了以下十个结论：
（1）他能惊人地长久记住自己所学过的数学定义、证明和思想
（2）尽管他的空间思维能力发展得很好，但他解题时明显（虽然是无意识的）偏于应用语言逻辑思维，而较少用直观思维
（3）他对数学专著有良好的理解能力，即使著作中使用了大量复杂的数学术语和符号
（4）他特别喜欢分析、代数结构、数论和计算等等科目
（5）他不必借助概念的具体模型就能很快掌握抽象的数学概念，
（6）他能对以前未见到的富有挑战性的问题提出解法策略，已能很主动地去探索数学世界的奥秘，他特别喜欢阅读数学史，喜欢寻求所喜爱的一些算法的应用
（7）他自学数学的速度很惊人，这也是许多数学超常儿童的特点
（8）一旦他发现海洋不知道的数学知识，他就产生兴趣，想方法找到有关书本进行学习
（9）某问题一经解出，他便不太愿意检查所做过程，似乎宁愿去做新的事情
（10）他用一种容易与别人交流的方式谈论自己的工作，不会洋洋得意，在进行书面解答时，他常常写的恰如其分使别人能看懂.
2018年4月17日
引文摘要：
- 人工智能让现有优势荡然无存。人工智能就是通过机器进行深度学习来工作，而这种学习过程就是大量地识别和记忆已有的知识积累。这样的话，它可以替代甚至超越那些通过死记硬背、大量做题而掌握知识的人脑。而死记硬背、大量做题正是我们目前培养学生的通常做法。所以，一个很可能发生的情况是，未来的人工智能会让我们的教育制度下培养学生的优势荡然无存。
- 知识越多未必创造力越强。知识越多未必创造力越强。“创造性思维=知识×好奇心和想象力”。这个简单的公式告诉我们，知识越多未必创造力越强。因为人接受的教育越多，知识积累多了，但好奇心和想象力可能减少，所以创造力并非随着受教育时间的增加而增加。儿童时期的好奇心和想象力特别强，但是随着受教育的增加，好奇心和想象力通常会逐渐递减。
-
功利主义扼杀了创造性思维。我把创新的动机分为三个层次，分别代表三种价值取向：一、短期功利主义；二、长期功利主义；三、内在价值的非功利主义。后面的比前面的有更高的追求。对短期功利主义者而言，创新是为了发论文、申请专利、公司上市；对长期功利主义者而言，创新有更高的追求，为了填补空白、争国内一流、创世界一流；而对内在价值的非功利主义者而言，创新有更高的追求：追求真理、改变世界、让人变得更加幸福。