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博客文章 '2020' '二月'

SSAT数学常考知识点数据分析报告

2020年2月15日

"基础不牢,地动山摇"。
这句话用在数学学习上一点也不过。
在数学竞赛教学实践中，我们发现部分同学学习数学兴趣浓厚，与其他同学上同样的课程，所学的知识点也貌似理解掌握了，每次考试出来，成绩就是上不来。
通过对这些同学学习数据的分析，我们发现一个重要的原因其实是因为基础不牢。因为基础不牢，做题又不爱写步骤，往往在其中某一个步骤出现计算错误而得出错误答案，导致满盘皆输。
怎么样才能够夯实这些同学的基础更好地参加数学竞赛呢？
经过对比，我们希望借助于北美比较流行的SSAT基础数学测评体系。
我们先来了解一下SSAT吧。


SSAT是什么

SSAT考试介绍


SSAT（Secondary School Admission Test），即美国中学入学考试。它诞生于1957年,由美国私立中学的十校联盟，即素有“小常春藤”之称的十所优质著名学校：Phillips Exeter, Choate Rosemary Hall, Andover Academy, The Hill School, Lawrenceville School, Deerfield Academy, Taft School, St. Paul’s School, Hotchkiss, and Loomis Chaffee School联合创办。当时，由于入学申请的竞争非常激烈，这些学校需要一个统一的考试，以便更公平地对学生进行测评和比较。因此，SSAT 应运而生: 十校联盟中的九所学校共同投资创办了美国中学理事会并与ETS合作，开发了SSAT考试。作为SSAT的奠基人，这些学校一直和理事会联系紧密，他们的入学申请也要求学生提交SSAT成绩作为测评参考。
除了上述十所美国学校之外，如今SSAT也适用于全球众多优质私立中学的入学考试，特别是申请美国、加拿大的优质私立中学所必须具备的一个考试成绩。它主要评测学生的数学、基本的语言交流以及阅读理解能力，考察考生的逻辑思维和发展潜力。SSAT既是校方在评估申请者时使用的最公平有效的工具，也是低龄段留学生在追求美国、加拿大的优质教育过程中所必须迈过的一道门槛。


SSAT考试的必要性


美国的公立中学只允许接收法定时限最长为一年的外国交换学生，不接受外国申请者以独立的学生身份在公立学校长期学习。而美国的私立中学依法可以根据本校规定，接收外国留学生持长期有效签证就读，直至高中毕业考入大学。因此，申请美国私立中学便成为绝大多数赴美求学的留学生的首选。而基本上美国私立中学都要求留学生必须参加SSAT考试。只有顺利通过SSAT考试，才能进入优质的私立中学就读，为日后的美国大学深造迈出坚实的第一步。
美国和加拿大的私立中学在录取外国留学生的过程中，除去学生的在校成绩、老师推荐信、面试表现等，更需要参考一个“公平公正、可以信赖”的测评标准作为了解、衡量学生实际能力并录用学生的重要参考依据。SSAT作为标准化的入学考试，在海外学生的录取过程中尤为重要，使得衡量不同教育背景的学生变为可能，是学校决定是否录取学生的不可或缺的重要工具。


SSAT考试的种类


SSAT考试根据报考人群分成两大类，即标准考试和特约考试。
特约考试只适用于中、高级考试，其考生主要是SSAT的联盟学校或由SSAT官方授权的机构，除此之外的考生均需参加SSAT标准考试。同一考生一年只能参加一次特约考试，此考生若在本年还需再参加SSAT考试，那下一次就只能参加标准化考试了。


SSAT数学数据分析报告

为了确保SSAT基础数学与竞赛数学体系衔接，我们对SSAT官方公开的考试大纲和一些模考试卷进行了分析，采用与竞赛数学体系同一套系统进行了标注，在同一数据库中可以很方便地通过SSAT数学的知识点找到稍加提高的题目。
SSAT基础数学题库与数学提升系统的延续性让采用比SSAT标准更高的题目进行训练成为可能。
通过近300套试卷的数据分析(我们还在继续整理，数据在持续扩大中)，我们整理出来这份报告，分享给大家，希望对于参加SSAT数学考试的同学有帮助。

这是SSAT数学Upper Level(8-11年级)的数据分析报告TOP 6知识点：


这是SSAT数学Middle Level(5-7年级)的数据分析报告TOP 6知识点：



这是SSAT数学Lower Level(3-4年级)的数据分析报告TOP 6知识点：



简单对比这三个不同级别SSAT数学题目，你会发现有点如出一辙的感觉。三个级别的考试知识点大部分相同，不同的是题目难度。翻翻SSAT Lower Level、Middle Level、Upper Level的教材，相似度比较高。
在北美数学竞赛系列数据分析文章中我们提到过，百分数(Percentage)的排名是比较靠前的，SSAT数据分析的结果再次表明了北美命题者对百分数的偏爱。也许这和生活中处处都是百分数有关，看表格时数据增加了多少、减少了多少，逛商场时打折了多少，工作时薪资增加了多少，房价和房租减少了多少...生活当中数量的变化处处可见百分数。百分数的题目在SSAT三个级别中都处在第一名或第二名的位置，结果与我们的直觉是一致的。
解题时把所求用未知数x来表示，将文字翻译成数学语言，按照题目逻辑整理出一个表达式，然后找到一个相同的目标用两种不同的路径来进行计算，让两个计算结果相等就是列方程解应用题(Word Problems)。这种方法比较强大，可以解决日常生活中的很多数学问题。所以你可以看到在SSAT数学考试中，代数式运算(AlgebraExps)和一元方程(1 Variable Equations)类型的题目比比皆是，他们处在排行榜前6名的位置就不能理解了。
分数和比率问题也是SSAT数学的考察重点，往往需要考生理清题目各个目标的数量逻辑关系，翻译成数学语言加以运算一般都很容易解决，在SSAT数学Upper Level和Middle Level中处于前六名的位置。
观察数据分析的结果，我们发现一个有趣的现象，在SSAT Lower Level和SSAT Middle Level中小数计算(Decimals)排在前六名的位置，到SSAT Upper Level时换成了平均数(Average Number)，这符合数学教学大纲的教学顺序，对于高年级同学来说，基本认为小数运算已经过关了，因此在这个阶段更加注重数据统计中的一些概念的应用，平均数(Average Number)在统计学中也叫Mean,自然上升到前六名的位置。
下面我们通过SSAT数学和北美数学竞赛百分数和平均数的例题，来看看命题者是如何一步一步地将题目从易变难的。


知识点举例

生活数学的常客-百分数

在SSAT Lower Level对百分数的考察是非常简易的，题目常常这样：

原文翻译：200的10%是多少？
同学们只要知道在英文里面的of可以换成数学符合里面的乘法，基本可以马上得出答案：200 x 10%=20,答案选B.

SSAT Middle Level的题目明显变难啦：

原文翻译：某小镇的人口在连续的2年中分别增长15%和20%，请问两年后比原来增长了百分之多少?
此题的解答可以假定起始年份的人口为1，理解Increased by 15%可以转换成数学语言里面的乘法因子(1+15%),Increased by 20%可以转换成数学语言的乘法因子(1+20%),做完乘法后再减去1就是答案啦：
1x(1+15%)x(1+20%)-1=38%
答案选C.

SSAT Upper Level大多把百分数的乘法变成了除法：

原文翻译：自行车减价$63后的价格是原价的40%，自行车原价多少钱?
同学们只要顺着百分数乘法的思路将题目转换成数学语言：
原价X(1-40%)=$63
然后将上面的乘法变成除法即可得解：
原价=$63/(1-40%)=$105.00
答案选A.

SSAT的题目不过瘾?我们来看看竞赛题是如何提升的吧。
先来看看滑铁卢高斯是怎么考察百分数的。
这是滑铁卢1999年高斯7年级的第18题：

原文翻译：右边圆形图中共有600人参加了头发颜色的调查，请问Blonde头发共有多少人？
此题只要理解了一个圆饼图中所有的百分数加起来应该等于100%，先做减法得到Blonde头发的百分数：
1-32%-22%-16%=30%
然后用600人去乘这个百分数就搞定了：
600X30%=180.
答案选C.

竞赛题是不是只比SSAT难了一点点？

再来看看美国数学竞赛AMC 8如何考察百分数的。
这是刚刚结束的2019年AMC 8的第22题：

原文翻译：一个商店将衬衫涨价一定的百分数后又降价同样的百分数,最终价格是原价的84%,请问这个百分数是多少？
此题只要理解了SSAT Middle Level中那道题涨价(Increased by)和降价(Decreased by)的乘法因子是如何计算的，设立一个简单的方程就立马搞定了：
假设原价是1，这个百分数是x,于是有：
1X(1+x%)X(1-x%)=84%
应用一下平方差公式：
1-(x%)^2=84%
于是：
(x%)^2=16%
于是：
x%=40%
x=40
答案为E。

AMC8 的竞赛题也只不过套了一个平方差公式而已，对不对？

再提高一层，看看美国数学竞赛AMC 10如何考察百分数吧。
这是2017年美国数学竞赛AMC 10的第11题:

原文翻译：Typico高中60%的学生喜欢跳舞，其他同学不喜欢跳舞；喜欢跳舞的同学中，80%声称喜欢，其他声称不喜欢；不喜欢跳舞的同学中，90%声称不喜欢，其他声称喜欢；请问声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学占比多少？
是不是有点像文字游戏，故意把逻辑搞得比较复杂呢？
事实上，同学们只要静下心来，画一个树形图Tree Diagram,把要求的两部分群体找出来，做一个简单的百分数计算即可：
声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学=60%X(1-80%)=12%;
声称不喜欢跳舞事实上也不喜欢跳舞的同学=40%X90%=36%;

声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学占比=
声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学/(声称不喜欢跳舞事实上却喜欢跳舞的同学+声称不喜欢跳舞事实上也不喜欢跳舞的同学)
=12%/(12%+36%)
=25%
答案选D.
是不是很简单！
只要理清逻辑，AMC 10也不过如此？

通过这一知识点的分析，大家是不是可以看到SSAT数学和竞赛数学并没有跨越不了的鸿沟，在应用知识点解题方面其实是相通的。
对于准备SSAT数学考试的同学来说，如果能用一些数学竞赛题进行训练和提升的话，SSAT数学高分或满分是势在必得的。

统计的基础概念-平均数

平均数(Average Number)作为数据统计分析中最基本的概念，在SSAT数学题中很常见。
SSAT Lower Level对平均数的考察停留在概念理解层面：

原文翻译：后面这些数的平均数是多少?
(5+11+13+23+45)/5=19.4
答案选B.

SSAT Middle Level对平均数的考察侧重于应用层面：

原文翻译：6个数的平均数是12，其中4个数的平均数是10.请问其他2个数的平均数是多少?
只要理解了平均数的概率此题基本都可以顺利解出:6个数的总数减去4个数的总数就是其他2个数的总数，除以2就得到平均数：
(6X12-4X10)/2=16.
答案选D.

SSAT Upper Level对平均数的考察一般与数列和动态数据结合：

原文翻译：4个连续奇数的平均数是24，请问其中最大数是多少?
此类平均数题目的解法需要掌握一些数列的解题技巧，因为是4个连续奇数，中间2个之和正好等于首尾2个之和，而且中间2个的平均数就是4个数的平均数。
因为中间2个的平均数是24，于是立即得到这两个数为23和25。
所以最大数为25+2=27，答案选C.

类似题目在滑铁卢数学竞赛中很多。
例如2010年高斯7年级的第13题:

原文翻译：5个连续整数的平均数是21，请问其中最小数是多少?
是不是与前面SSAT Upper Level的题目基本一样，只是把4个数换成了5个数，24换成了21.
运用一样的处理技巧，5个数最中间的那个数就是21。
所以最小数是21-2=19.答案选E.

美国数学竞赛AMC 8对于平均数的考察在技术上做了一些提升，一般与数论、临界值问题结合得比较多。
例如刚刚结束的2019年AMC 8的第7题：

原文翻译：Shauna同学考了五科，每科的最高分是100分。她的前三科分数是76,94,87。为了得到五科平均分为81分，其他两科的最低分是多少?
只要对平均数和临界值理解到位，基本可以马上得解：
五科总分为81X5=405分;
三科已经获得：76+94+87=257分；
其余两科总分=405-257=148；
要得到其中一科最低分，需要让其中另一科为最高分=100分；
于是最低分=148-100=48分，答案为A。

美国数学竞赛AMC 10对于平均数的考察在数的复杂度上面做了提升，一般与数论、数列、几何等其他领域的知识点结合起来出题。
例如2015年AMC 10A的第5题：

原文翻译：Mr.Patrick给15个学生考试打分，他发现如果不算Payton,所有同学的平均分是80分，如果加上Payton的分数，所有同学的平均分是81分。请问Payton的平均分是多少？
此题如果能够深刻理解平均数差值的概念，利用平均数的差值可以马上给出答案。
因为平均数的差值=81-80=1分，15个人就产生15X1=15分的差值，这15分的差值都来自于Payton高于原来平均分的贡献。
所以Payton的分数=80+15=95分，答案选E。


总结

通过百分数和平均数两大知识点的例题解析，我们看到了SSAT Lower Level、SSAT Middle Level、SSAT Upper Level在命题方面是如何从易到难、逐级深入的。
SSAT数学考察的知识点确实是基础数学中的基础。
将相同知识点的题目与北美数学竞赛题进行对比以后，我们发现SSAT数学和北美数学竞赛在知识点考察方面是一脉相承的，只是竞赛题在难度和复杂度方面做了提升。从这个角度说，同学们多做一些相关知识点的数学竞赛题，肯定会加强知识点的理解深度和提高解题速度。
如果有同学正准备参加SSAT数学考试，希望在考试中得高分或满分，可是使用SSAT的训练题后发现成绩突破有瓶颈，建议你不妨试试相关知识点的数学竞赛题做一些提升训练。做完竞赛题后再回过头去做SSAT的考试题，肯定会有小菜一碟的好感觉。


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How to finish coding homework on Rootofmath.com

2020年1月31日

1.Find out your JAVA homework in the same directory as the Math homework:My Account->My VIP Practices.

After you get your JAVA homework, click "Do it!" as usually:

 

 

2.On the Question page, click "Write Code":

 

 

3.Input JAVA code on this page, do remember to click "SAVE&RUN" to save and run your code online before click "Finish"

 

 

4.You can click "Show Problem" to display the current question

 

 

5.Click "Finish" to go back the question page as usually

 

6.Repeat step 2 to step 5 to submit code for all the questions;

 

7.Finally click "Submit All" to submit your code to your instructor;

 

8.You can review it in the My Account->My VIP Practices directory;

 

9.You can review all code snippets in the  My Account->My VIP Codings directory,they are listed out by homework paper then by question number;

 

 

 

 

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